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《一、 矢量分析与场论基础》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、一、矢量分析与场论基础主要内容：矢量的基本概念、代数运算矢量分析基础场论基础（梯度、矢量场的散度和旋度）矢量场的Helmholtz定理第二讲标量场矢量场直角(x,y,z)xzyz=z0x=x0y=y0P0O直角坐标系1.1标量积和矢量积矢量的相乘有两种定义:标量积(点乘)和矢量积(叉乘)。标量积A·B是一标量,其大小等于两个矢量模值相乘,再乘以它们夹角αAB(取小角,即αAB≤π)的余弦:它符合交换律:并有因而得矢量积A×B是一个矢量,其大小等于两个矢量的模值相乘,再乘以它们夹角αAB(≤π)的
2、正弦,其方向与A,B成右手螺旋关系,为A,B崐所在平面的右手法向:它不符合交换律。由定义知,并有故A×B各分量的下标次序具有规律性。例如,分量第一项是y→z,其第二项下标则次序对调:z→y,依次类推。并有1.2三重积;矢量的三连乘也有两种。标量三重积为矢量三重积为公式右边为“BAC-CAB”,故称为“Back-Cab”法则,以便记忆。图1-3矢量乘积的说明1.3通量与散度,散度定理在描绘矢量场的特性时,矢量场穿过一个曲面的通量是一个很有用的概念。在矢量分析中,将曲面的一个面元用矢量ds来表示,其
3、方向取为面元的法线方向,其大小为ds,即是面元的法线方向单位矢量。的取法(指向)有两种情形:对开曲面上的面元,设这个开曲面是由封闭曲线l所围成的,则当选定绕行l的方向后,沿绕行方向按右手螺旋的姆指方向就是的方向,如图1-4所示;对封闭曲面上的面元,取为封闭面的外法线方向。1.3.1通量图1-4开曲面上的面元将曲面S各面元上的A·ds相加,它表示A穿过整个曲面S的通量,也称为A在曲面S上的面积分:如果S是一个封闭面,则表示A穿过封闭面的通量。若Ψ＞0,表示有净通量流出,这说明S内必定有矢量场的源;
4、若Ψ＜0,表示有净通量流入,说明S内有洞(负的源)。通过封闭面的电通量Ψe等于该封闭面所包围的自由电荷Q。若Q为正电荷,Ψe为正,有电通量流出;反之,若Q为负电荷,则Ψe为负,有电通量流入。1.3.2散度,哈密顿算子;定义如下极限为矢量A在某点的散度(divergence),记为divA:式中ΔV为封闭面S所包围的体积。此式表明,矢量A的散度是标量,它是A通过某点处单位体积的通量(即通量体密度)。它反映A在该点的通量源强度。显然,在无源区中,A在各点的散度为零。这个区域中的矢量场称为无散场或管形
5、场。哈密顿(W.R.Hamilton)引入倒三角算符(读作“del(德尔)”或“nabla(那勃拉)”)表示下述矢量形式的微分算子:它兼有矢量和微分运算双重作用,因而与普通矢量有所不同:A的散度可表示为算子与矢量A的标量积,即利用哈密顿算子,读者可以证明,散度运算符合下列规则:1.3.3散度定理既然矢量的散度代表的是其通量的体密度,因此直观地可知,矢量场散度的体积分等于该矢量穿过包围该体积的封闭面的总通量,即上式称为散度定理,也称为高斯公式。利用散度定理可将矢量散度的体积分化为该矢
6、量的封闭面积分,或反之。例1.1球面S上任意点的位置矢量为试利用散度定理计算［解］1.4环量与旋度,斯托克斯定理1.4.1环量矢量A沿某封闭曲线的线积分,定义为A沿该曲线的环量(或旋涡量),记为图1-5矢量场的环量1.4.2旋度的定义和运算为反映给定点附近的环量情况,我们把封闭曲线收小,使它包围的面积ΔS趋近于零,取极限这个极限的意义就是环量的面密度,或称环量强度。由于面元是有方向的,它与封闭曲线l的绕行方向成右手螺旋关系,因此在给定点处,上述极限值对于不同的面元是不同的。为此,引入如下定义
7、,称为旋度(curl或rotation):可见,矢量A的旋度是一个矢量,其大小是矢量A在给定点处的最大环量面密度,其方向就是当面元的取向使环量面密度最大时,该面元矢量的方向。它描述A在该点处的旋涡源强度。若某区域中各点rotA=0,称A为无旋场或保守场。矢量A的旋度可表示为算子与A的矢量积,即计算▽×A时,先按矢量积规则展开,然后再作微分运算,得即旋度运算符合如下规则:在直角坐标系中有1.4.3斯托克斯定理因为旋度代表单位面积的环量,因此矢量场在闭曲线l上的环量就等于l所包围的曲面S上的旋度之总
8、和,即此式称为斯托克斯(Stokes)定理或斯托克斯公式。它可将矢量旋度的面积分变换为该矢量的线积分,或反之。例1.2自由空间中的点电荷q所产生的电场强度为求任意点处(r≠0)电场强度的旋度▽×E。[解]可见,向分量为零;同样,向和向分量也都为零。故这说明点电荷产生的电场是无旋场（不产生磁场）。因例1.4证明下述矢量斯托克斯定理：式中S为包围体积V的封闭面。[证]设C为一任意常矢，则从而有根据散度定理，上式左边等于于是得由于上式中常矢C是任意的，故式必成立。1.5方向导数与梯度,格林定理1.5.
