矢量分析和场论基础

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1、第0章矢量分析和场论基础亥姆霍兹定理标量场和矢量场标量场的梯度矢量场的环量和旋度矢量场的通量和散度三种特殊形式的场矢量和标量电磁学中的各种物理量可分为两类标量矢量标量（Scalar）：选定单位后仅用一个数值就可以表示其大小的物理量，称为标量，如电位、能量等矢量（Vector）：不仅有大小，还有方向的物理量，称为矢量，如电磁力、电场强度、磁感应强度等矢量在印刷体中常用黑体字，如A0.1矢量及运算1、矢量的表示方法单位矢量：长度为一个单位的矢量称为单位矢量。在正交坐标系，矢量可以用坐标来表示。如：直角坐标系中，从O指向终点P的矢量A可以表示为：、、表示x、y、

2、z三个坐标轴方向上的单位矢量。2、矢量运算矢量标积(点乘):在直角坐标系中，其解析式为矢量矢积(叉乘):在直角坐标系中，其解析式为0.2标量场和矢量场场是一个标量或一个矢量的位置函数，即场中任一个点都有一个确定的标量值或矢量。例如，在直角坐标系下，标量场如温度场，电位场，高度场等；矢量场如流速场，电场，涡流场等。形象描绘场分布的工具—场线矢量场—矢量线标量场—等值线(面)其方程为其方程为三维场在直角坐标下(矢量线):二维场矢量线等值线在某一高度上沿什么方向高度变化最快？过点P等值面的法线方向n方向(垂直于等高线，斜率最大)—梯度方向。0.3标量场的梯度当，

3、即与方向一致时，最大。1、梯度设一个标量函数(x,y,z)，若函数在点P可微，则在点P沿任意方向l的方向导数为(沿方向l对距离的变化率)：梯度(gradient)哈密(尔)顿算子式中则有：设式中，，，分别是与x,y,z轴的夹角，el为方向l的单位矢量例1高度场的梯度h=f(x,y)例2电位场的梯度(金属球在正电荷产生的场中—电场线)高度场的梯度与过该点的等高线垂直；数值等于该点位移的最大变化率；指向地势升高的方向。电位场的梯度与过该点的等位线垂直；指向电位增加的方向。数值等于该点的最大方向导数；2、梯度的物理意义标量场的梯度是一个矢量，是空间坐标点的

4、函数;梯度的方向为该点最大方向导数的方向,即与等值线（面）相垂直的方向，它指向函数的增加方向。梯度的大小为该点标量函数的最大变化率，即该点最大方向导数;三维高度场的梯度电位场的梯度0.4矢量场的通量与散度1、通量通量：矢量E沿有向曲面S的面积分>0(有正源)<0(有负源)=0(无源)矢量场的通量矢量场的通量若S为闭合曲面，可以根据净通量的大小判断闭合面中源的性质：2、散度如果包围点P的闭合面S所围区域V以任意方式缩小为点P时，通量与体积之比的极限存在，即散度(divergence)计算公式3、散度的物理意义散度代表矢量场的通量源的分布特性。•A

5、=0(无源）•A=0(负源)•A=0(正源)在矢量场中，若•A=0，称之为有源场，称为(通量)源密度；若矢量场中处处•A=0，称之为无源场。矢量的散度是一个标量，是空间坐标点的函数；4、高斯(Gauss)公式(散度定理)高斯公式该公式表明了区域V中场A与边界S上的场A之间的关系。矢量函数的面积分与体积分的互换。散度定理由于是通量源密度，即穿过包围单位体积的闭合面的通量，对体积分后，为穿出闭合面S的通量0.5矢量场的环量与旋度1、环量该环量表示绕线旋转趋势的大小。水流沿平行于水管轴线方向流动=0，无涡旋运动流体做涡旋运动0，有产

6、生涡旋的源矢量A沿空间有向闭合曲线L的线积分环量例：流速场流速场环量的计算2、旋度(1)环量密度过点P作一微小曲面S，它的边界曲线记为L，面的法线方向与曲线绕向成右手螺旋法则。当S点P时，存在极限环量密度取不同的路径，其环量密度不同。(2)旋度—最大环量密度旋度是一个矢量，模值等于环量密度的最大值；方向为最大环量密度的方向。旋度(curl)它与环量密度的关系为在直角坐标系下3、旋度的物理意义矢量的旋度仍为矢量，是空间坐标点的函数。点P的旋度的大小是该点环量密度的最大值。在矢量场中，若A=J0，称之为旋度场(或涡旋场)，J称为旋度源(或涡旋源)

7、；点P的旋度的方向是该点最大环量密度的方向。4、斯托克斯(Stockes)定理A是环量密度，即围绕单位面积环路上的环量。因此，其面积分后，环量为Stockes定理在电磁场理论中，Gauss公式和Stockes公式是两个非常重要的公式。矢量函数的线积分与面积分的互换。该公式表明了区域S中场A与边界L上的场A之间的关系若矢量场处处A=0，称之为无旋场。斯托克斯定理0.6亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理(HelmholtzTheorem)：在有限区域内，矢量场由它的散度、旋度及边界条件唯一地确定。已知矢量A的通量源密度矢量A的旋度源密度场域边界条件在电磁场中电荷

8、密度电流密度J场域边界条件（矢量A唯一地确定）例：判断矢量场的性