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1、重点和难点关于矢量的定义、运算规则等内容可让读者自学。重点讲解标量与矢量、常矢与变矢的异同；梯度、散度、旋度的物理概念和数学表示；格林定理和亥姆霍兹定理的涵义；以及三种常用坐标系的构成，线元、面元、体元和矢量在三种坐标系中的表示。考虑到高年级同学已学过物理学，讲解梯度、散度和旋度时，应结合电学中的电位、积分形式的高斯定律和安培环路定律等内容。讲解无散场和无旋场时，也应以电学中已学过的静电场和恒定磁场的基木特性为例。主教材的特色之一是以亥姆霍兹定理为依据逐一介绍电磁场，因此该定理应着重介绍。但是由于证明过程较繁，还要涉及/函数，如果学时有限可以略去。亥姆霍兹定理严格地定量描述了自由空间
2、中矢量场与其散度和旋度Z间的关系，应该着重指出散度和旋度是产生矢量场的惟一的两个源，强调散度和旋度是研究矢量场的首要问题。此外，还应说明无限大的自由空间中仅可存在无散场或无旋场，不可能存在既无散又无旋的矢量场。这种既无散乂无旋的矢量场只能存在于局部的无源区中。讲解三种坐标系时，应讨论哪些坐标轴的单位矢量是常矢，哪些坐标轴的单位矢量是变矢。题解1-1已知三个矢量分别为A=ex+2^v-3er；B=3ex+ey+2ez；C=2ex-ez。试求①
3、A
4、,
5、B
6、,
7、C
8、；②单位矢量e“，;③;④AxB；⑤(AxB)xC及(AxC)xB；(6)(AxC)-B(AxB)-CoM+A；+4；=Vl
9、2+22+(-3)2=V14B=+B：+B；=V32+l2+22=V14二徑+C；+C；=J，+02+(-1)2”+2j—3乞BV14V14V”『z,_CC1"iZfTT方2—)A-B=AB+AB+A_B_=3+2-6=-lxxyy-z(AxB)xC=72-110-5-11le丫—3ey+22eAxCA.厶C-3-1一2乞一5匕,一4冬(AxC)xB=-23-51e=-42-6er一込+13乞xy厶5ez54&•*止—12-3ByB二312AxB==lex-lley-5ez⑥(AxC)-B=(-2)x3+(-5)xl+(-4)x2=-19(4xB).C=7x2+0+(-5)x(-
10、1)=19。1-2已知2=0平面内的位置矢量A与X轴的夹角为位置矢量B与X轴的夹角为0,试证cos(a-0)=cosacos0+sinqsin0证明由于两矢量位于z=0平面内，因此均为二维矢量,它们可以分别表示为A=exAcosa+ev
11、?l
12、sin(7B=exBcos0+e、Bsin/3已知AB=ABcos(a-0),求得COS(Q_#)=ABcosqcos0+同同sinosin0即cos(a-0)=cosacos0+sinasin01-3Q知空间三角形的顶点坐标为片(0,1,-2),马(4,1,-3)及厶(6,2,5)。试问:①该三角形是否是直角三角形；②该三角形的面积是多
13、少？解由题意知，三角形三个顶点的位置矢量分别为P=乞-2冬；P2=4ex+ey-3ez；P3=6ex4-2ey4-5ez那么，由顶点凡指向尸2的边矢量为PT二4乞-耳同理，由顶点卩2指向Pi的边矢量由顶点卩3指向P1的边矢量分别为厶一4=2®+竹,+随P,-P3=-6ex-ey-le2因两个边矢量(P2-P,)-(P3-P2)=0,意味该两个边矢量相互垂直，所以该三角形是直角三角形。因£-片
14、=J452=币P3-P2=a/22+12+82=V69,所以三角形的面积为S=-
15、P2~P^P3~P2=0.5VH7321-4已知矢量A=exy+evx,两点P丿夂巴的坐标位置分别为好
16、(2,1,-1)及2,-l)o若取P,及卩2Z间的抛物线X=2/或直线P禺为积分路径，试求线积分rA-d/oJ”2解①积分路线为抛物线。已知抛物线方程为x=dx=4ydy,贝lj2一14Adl=『(pdx+xd尹)=『Obdy+2y2d尹)=6y2dy=2y3②积分路线为直线。因斥，厶两点位于z=-l平面内，过人，鬥两点的直线方程为=—（x-2）,即6尹=x+4,8—2dx=6dy9则6尹d尹+（6y_4）d尹=（6尹2创:1-5设标量①-xy2+yz3,矢量A=2ex+2ev-e^,试求标量仏y£函数⑦在点（2,-1,1）处沿矢量A的方向上的方向导数。解已知梯度V(P=ex6①乔+
17、◎'6①——+sSy50dz=^xy2+ev(2xy+z2)+e23yz2那么，在点（2,-1,1）处O的梯度为V（P=ex-3ey-3ez因此，标量函数0在点（2,-1,1）处沿矢量4的方向上的方向导数为▽⑦•勺=（乞-3务_3匕）•（2乞+2ey-ez）/3=~1-6试证式（1・4・11）,式（1・4・12）及式（1・4・13）。证明式（1・4・11）为V（0^）=0V^+¥V0,该式左边为▽（叱7舟（叱+嗚（叱+诰删）不6屮、(lTfd0M屮、（壮①
