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1、矢量分析与场论第1章矢量分析在矢量代数屮，曾经讨论过模和方向都保持不变的矢量，这种矢量称为常矢。然而，在科学和技术的许多问题屮，也常遇到模和方向改变或其屮之一会改变的矢量，这种矢量称为变矢。如非等速及菲直线运动物体的速度就是变矢量的典型例子。变矢量是矢量分析研究的重要对象。本章主要讨论变矢与数性变量之间的对应关系——矢函数及微分、积分和它们的一些主要性质。§1.1矢函数与普通数量函数的定义类似，我们引进矢性函数(简称矢函数)的概念，进而结出矢函数的极限与连续性等概念。1、矢函数的概念定义1丄1设有数性变量f和变矢A,如果对于f在某个范围D内的每一个数值，A都以一个确定的矢量和它对应，则称A
2、为数性变量F的矢量函数，记作A=A(r)(1」」)并称D为矢函数4的定义域。在5送直角坐标系屮，用矢量的坐标表示法，矢函数可写成A⑴=jAt(r)Mv(/)MX/)}(1丄2)其屮久⑴,4v(/),(f)都是变量t的数性函数，可见一个矢函数和三个有序的数性函数构成一一对应关系。即在宇间直角坐标系下，•个矢函数相当于三个数性函数。本章所讲的矢量均指自由矢量，所以，以后总可以把A⑴的起点取在坐标原点。这样半f变化吋，A(f)的终点M就描绘出一条曲线/(图1.1),这样的曲线称为矢函数A⑴的矢端曲线，也称为矢函数A(f)的图形。同时称(1.1.1)式或(1.1.2)式为此曲线的矢量方程。愿点0也
3、称为矢端曲线的极。由于终点为M(x,y,z)的矢量而对于原点0的矢径为r=0M=xi+yj+zk当把A(f)的起点取在坐标原点时，A(f)实际上就成为其终点M(x,y,z)的矢径，因此A(f)的三个坐标Av(r),Av(r),Ac⑴就对应地等于其终点M的三个坐标W,即X=Av⑴==(1.1.3)此式就是曲线/的参数方程。只是模变化而方向不变的矢量，它的矢端曲线是通过记得射线。只改变方向而模不变的矢量，它的矢锻曲线是位于以极为屮心模为半径的球面上的某一曲线。2、矢函数的极限和连续性定义1.1.2设矢函数A(r)在点°的某个领域内有定义(但在°处可以无定义)，A()为一常矢。若对于任意给定的正
4、数g,都存在一个正数/,使当/满足0v
5、r—/o
6、<》时，就有IA(r)—Aol/0矢函数的极限定义与数性函数的极限定义完全类似。因此矢函数也就有类似于数性函数极限的运算法则。如limw(r)A(r)=limw(r)-limA(t)t->tnslim[A(r)±B(r)l=limA(r)±limB(r)(1.1.5)(1.1.6)lim[A(/)B(/)]=limA(t)-limB(f)(1.1.7)lim[A(r)xB(r)]=limA(r)xlimB(r)『TFoFT/。(1.1.8)其中讥r)为
7、数性函数,A(r),B⑴为矢函数;且吋,«(/),A(r),B(f)的极限均存在。若设A(r)=Ax(r)i+Ay(t)j+4(r)k则由法则(1.1.6)与(1.1.5)有limA(r)=limAx(t)i+limAx(r)j+limAz(t)k/T『o—bFT/。即求•个矢函数的极限可以归结为求三个数性函数的极限。定义1.1.3若矢函数A(/)在/。的某个邻域内有定义，且有(1.1.9)limA(r)=A(r0)(1.1.10)则称A(°在处连续。即矢函数A⑴在°处连续的充分必要条件是它的二个坐标函数Ax(r),Av(/),Az(r)都在to处连续。若矢函数A(r)在某个区间内的每一点
8、处都连续，则称函数A⑴在该区间内连续。或称A⑴是该区间内的连续函数。§1.2矢函数的导数与微分矢函数的微分法是矢量分析的重要内容，在空间直角坐标系屮，一-个矢量:与三个数量(坐标)构成一一对应关系，因而矢函数也有类似于数性函数的导数，微分概念及运算法则。1、矢函数的导数设有起点在原点。的矢函数A⑴，当数性变量7在其定义域内从，变到rA(Ar0)时，对应的矢量分别为A(r)=OMA(r+Ar)=ON如图1.2.1,贝I」A(z+Ar)=0/V・A(t)=MN称为矢函数A⑴的增量，记作△A(r),即AA(/)=A(r+Ar)・A(/)据此，我们给出矢函数的导数定义。定义121设矢函数A⑴在点/
9、的某一个邻域内有定义，并设/+△/也在这邻域内，若A⑴对应于Ar的增量△A⑴与4之比AA(f)_Aa+“)—A(f)ArAr当&T0吋，其极限存在，贝IJ称此极限为矢函数A(『)在点/处的导数(简称导矢)，记作如，或Af(t),即dtdA(t).AA(f).A(t4-Af)—A(t)———=lim—=limdt$toAr&toAr若4⑴=4•⑴i+4v⑴j+AXt)k,且函数Av(r),Av(r),a则有(1.2.2)在
