矢量分析(电子教案).doc

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1、第一章矢量分析本章内容1.1矢量代数1.2三种常用的正交曲线坐标系1.3标量场的梯度1.4矢量场的通量与散度1.5矢量场的环流与旋度1.6无旋场与无散场1.7拉普拉斯运算与格林定理1.8亥姆霍兹定理矢量的几何表示1.1矢量代数1.标量和矢量标量：一个只用大小描述的物理量。矢量：一个既有大小又有方向特性的物理量，常用黑体字母或带箭头的字母表示。矢量的几何表示：一个矢量可用一条有方向的线段来表示矢量的代数表示：矢量的大小或模：zxy矢量的单位矢量：常矢量：大小和方向均不变的矢量矢量用坐标分量表示2.矢量的代数运算（1）矢量的加减法在直角坐标系中

2、两矢量的加法和减法：矢量的加减符合交换律和结合律交换律结合律矢量的加法矢量的减法（2）标量乘矢量（3）矢量的标积（点积）qsinABq矢量与的叉积——矢量的标积符合交换律———》———》（4）矢量的矢积（叉积）用坐标分量表示为写成行列式形式为若，则若，则（5）矢量的混合运算——分配律——分配律——标量三重积——矢量三重积（6）矢量的其他运算1.2三种常用的正交曲线坐标系三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来确定。三条正交曲线组成的确定三维空间任意点位置的体系，称为正交曲线坐标系；三条正交曲线称为坐标轴；描述坐标轴的量称为坐标变

3、量。在电磁场与波理论中，三种常用的正交曲线坐标系为：直角坐标系、圆柱坐标系和球坐标系。1.直角坐标系直角(x,y,z)zxyz=z0x=x0y=y0P0O坐标变量坐标单位矢量位置矢量线元矢量面元矢量体积元2.圆柱坐标系圆柱(r,f,z)yzxP0f0f=f0r=r0z=z0O坐标变量坐标单位矢量位置矢量线元矢量面元矢量体积元3.球坐标系球坐标系坐标变量坐标单位矢量位置矢量线元矢量面元矢量体积元1.3标量场的梯度1.标量场的等值面等值面:标量场取得同一数值的点在空间形成的曲面。意义:形象直观地描述了物理量在空间的分布状态。等值面的特点：•常数

4、C取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；•标量场的等值面充满场所在的整个空间；•标量场的等值面互不相交。标量场的等值线(面)2.方向导数标量场在某点的方向导数表示标量场自该点沿某一方向上的变化率。式中：——的方向余弦。意义：方向导数表示场沿某方向的空间变化率。——u(M)沿方向增加；——u(M)沿方向减小；——u(M)沿方向无变化。特点：方向导数既与点M0有关，也与方向有关。3.标量场的梯度梯度:标量场在某点梯度的大小等于该点的最大方向导数，梯度的方向为该点具有最大方向导数的方向。可见，梯度是一个矢量。在直角坐标系中，标

5、量场F的梯度可表示为式中grad是英文字母gradient的缩写。若引入算符Ñ，它在直角坐标系中可表示为则梯度可表示为梯度的表达式：直角坐标系圆柱坐标系球坐标系梯度的性质：•标量场在某个方向上的方向导数，是梯度在该方向上的投影。•标量场的梯度垂直于通过该点的等值面（或切平面）1.4矢量场的通量与散度1.矢量线概念：矢量线是这样的曲线，其上每一点的切线方向代表了该点矢量场的方向。意义：形象直观地描述了矢量场的空间分布状态。矢量线方程：矢量线OM2.矢量场的通量通量的概念：矢量A沿某一有向曲面S的面积分称为矢量A通过该有向曲面S的通量，以标量Y

6、表示，即其中：——面积元矢量；——面积元的法向单位矢量；——穿过面积元的通量。如果曲面S是闭合的，则规定曲面的法向矢量由闭合曲面内指向外，矢量场对闭合曲面的通量是通量的物理意义：通量可为正、或为负、或为零。当矢量穿出某个闭合面，认为该闭合面中存在产生该矢量场的源；当矢量进入这个闭合面时，认为该闭合面中存在汇聚该矢量场的洞（或）。闭合的有向曲面的方向通常规定为闭合面的外法线方向。因此，当闭合面中有源时，矢量通过该闭合面的通量一定为正；反之，当闭合面中有洞时，矢量通过该闭合面的通量一定为负。所以，前述的源称为正源，而洞称为负源。3.矢量场的散度

7、为了定量研究场与源之间的关系，需建立场空间任意点（小体积元）的通量源与矢量场（小体积元曲面的通量）的关系。利用极限方法得到这一关系：称为矢量场的散度。散度是矢量通过包含该点的任意闭合小曲面的通量与曲面元体积之比的极限。散度的表达式：直角坐标系圆柱坐标系球坐标系散度的有关公式：4.散度定理从散度的定义出发，可以得到矢量场在空间任意闭合曲面的通量等于该闭合曲面所包含体积中矢量场的散度的体积分，即体积的剖分VS1S2en2en1S散度定理是闭合曲面积分与体积分之间的一个变换关系，在电磁理论中有着广泛的应用。1.5矢量场的环流与旋度1.矢量场的环流

8、与旋涡源不是所有的矢量场都由通量源激发。存在另一类不同于通量源的矢量源，它所激发的矢量场的力线是闭合的，它对于任何闭合曲面的通量为零。但在场所定义的空间中闭合路径的积分不为零。环