矢量分析(电子教案)

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1、第一章矢量分析本章内容1.1矢量代数1.2三种常用的正交曲线坐标系1.3标量场的梯度1.4矢量场的通量与散度1.5矢量场的环流与旋度1.6无旋场与无散场L7拉普拉斯运算与格林定理1.8亥姆霍兹定理矢量的几何表示1.1矢量代数1.标量和矢量标量：一个只用大小描述的物理量。欠量：一个既冇大小又冇方向特性的物理虽，常用黑体字母或带箭头的字母表示。矢量的儿何表示：一个矢量可用一条有方向的线段來表示矢量的代数表示：A=eAA=eAA矢量的大小或模：力=4=化+心崔矢蜃的单位矢罐：乙一AA常矢屋：大小和方向均不变的矢量」^7it—、人矢量用坐标分量表示Av=AcosaAy=Acos0止=>4cos/

2、©A=A(evcosa+eycos(3+e.cos/)eA=excosa+eycos0+互cosy2.矢量的代数运算(1)矢量的加减法在肓角坐标系屮两矢暈的加法和减法：A±B=ex(Ax±BJ+ey(Ay±BJ+ez(A±BJ欠量的加减符合交换律和结合律交换律A+B=B+A结合律2+（直+C）=（兀+E）+C矢量的减法矢量的加法（2）标量乘矢量kA=exkAx+eykAy+e.kA.（3）矢量的标积（点积）AB=ABcos0=ABx+ABv+A.B.xayyAB=BA——矢量的标积符合交换律ex-ey=ey^ez=ez-ex=0ex-ex=ey-ey=ez-ez=l広丄鸟》AB=0A//

3、B》AB=AB（4）矢量的欠积（叉积）sin0AxB=enABsin0矢舅与鸟的叉积用处标分量表示为入朋=耳（A遐一4$）+耳SE——4QJ写成行列式形式为AxB=AxAyA.BB、B:AxB=-BxA若ALB,贝ij

4、AxB

5、=AB若A//B,WiJ

6、AxB

7、=O(5)矢量的混合运算分配律-分配律(A+B)C=AC+BC-(A+B)xC=AxC+BxCA(BxC)=B(CxA)=C(AxB)Ax(BxC)=(AC)B-(AS)C矢量三重积(6)欠量的其他运算1.A+(B+C)=(A4-B)+C2.A(B+C)=AB+AC3.AxB=-BxA4.Ax(B+C)=AxB+AxC5.(AB

8、)C^A(BC)6.Ax(BxC)(AxB)xC1.2三种常用的正交曲线坐标系三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来确定。三条正交曲线组成的确定三维空间任意点位置的体系，称为正交曲线处标系；三条正交Illi线称为坐标轴；描述坐标轴的量称为坐标变量。在电磁场与波理论中，三种常用的正交曲线处标系为：岂角处标系、圆柱处标系和球坐标系。1.直角坐标系!✓坐标变址坐标单位矢量位置矢暈r=exx+eyy+ezz线元矢量dl=exdx+evdy+e.dz而元矢量战=exdlydl:=exdydzdSv=eydlxdl:=ey(k(izdS.=?.d/d/v=e.dxdy£乙入)乙"体积元

9、dV=dxdydz坐标单位矢量e:位置矢最线元矢量面元矢量r=epp+ezzdl=epAp+e^pAc/)+e.dz返=石弘必=0/(10&辽=e^dlpdlz=e^pAzd=互叫叫=Jp&pg3.球处标系球坐标系坐标变量丫00朋标单位矢量位置矢虽r=err线元矢最dl=£d厂+為ni&+吊rsin&d0面元矢量dSr=e^lgdl^=0”sin&d&d0d馬=eodlrdl^=e:rsin0drd(fid必=诃％=e^rdrdd体积元dV=r2sm0drd0d(/f1.3标量场的梯度1.标量场的等值面等值而：标量场取得同—•数值的点在空间形成的曲而。意义：形象直观地描述了物理虽在空间

10、的分布状态。等值面的特点：•常数C取-•系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族;•标量场的等值而充满场所在的整个空间；•标聚场的等值面互不相交。y标量场的等值线(面)1.方向导数标量场在某点的方向导数表示标量场口该点沿某一方向上的变化率。du~dl.•Awduduc1]JTJ——=—COSQ+—COS0+—cos/“TOA/dxdydz式

11、

12、

13、：COSG、COS0、cos/A/的方向余弦。意义：方向导数表示场沿某方向的空间变化率。—>0——“(M)沿dlAu—<0——巩⑷沿51—=0——“(M)沿dl方向增加;方向减小;方向无变化。特点：方向导数既与点M0有关，也与方向有关

14、。2.标虽场的梯度梯度:标量场在某点梯度的大小等于该点的最大方向导数，梯度的方向为该点具有最大方向导数的方向。可见，梯度是一个矢量。在直角坐标系中，标量场0的梯度可表示为6①dz式中grad是英文字母gradient的缩写。若引入算符▽，它在直角坐标系小可表示为883——+£、・——+◎——dxydy・&则梯度可表示为梯度的表达式:直角坐标系grad①=VO「-_du一duvu=ex——+s—+匕一Aax>d2dz圆柱坐标系rlJU