换元积分法和分部积分法.ppt

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1、4.2换元积分法和分部积分法第四章一、第一类换元积分法三、分部积分法（IntegrationbySubstitutionandIntegrationbyParts）二、第二类换元积分法第二类换元法第一类换元法设可导,则有基本思路在上次课中，我们学习了“不定积分的概念和性质”给出了“基本积分公式表”。但是，对于形如这样的积分，利用不定积分的性质和基本积分公式表我们就无能为力了。为此，……一、第一类换元积分法定理4.2.1则有换元公式(也称配元法,凑微分法)证明过程请看书!例4.2.11）求2）求补充例题1求解:令则故原式=补充例题2求答案：补充例题3求

2、答案：例4.2.4求解:例4.2.5求答案：万能凑幂法常用的几种配元形式:解:原式=补充例题4求自主学习课本P141例4.2.6、例4.2.7、例4.2.8例4.2.9求解:例4.2.10解:解法2（与课本解法不一样）补充例题5求解:原式=补充例题6求或解补充例题7补充例题8解:补充例题9解:解:补充例题10自主学习课本P141例4.2.11—例4.2.13二、第二类换元法第一类换元法解决的问题难求易求若所求积分易求,则用第二类换元积分法.难求，是单调可导函数,且具有原函数,证明略,详细过程可参见课本P142则有换元公式定理4.2.2设反函数例4.2

3、.14计算1）解:补充例题11解:解:令则∴原式补充例题12求自主学习课本P142例4.2.142）解:令则∴原式补充例题13求自主学习课本P142例4.2.15解:令则∴原式补充例题14求令于是自主学习课本P143例4.2.16或从上面三个例子，可以看出如果被积函数含有：可作代换可作代换可作代换解于是第二类换元法常见类型:令令令或令或令或第三节讲(7)分母中因子次数较高时,可试用倒代换令2.常用基本积分公式的补充前面，我们利用复合函数的求到法则得到了“换元积分法”。但是，对于形如的积分用直接积分法或换元积分法都无法计算.注意到，这些积分的被积函数都

4、有共同的特点——都是两种不同类型函数的乘积。这就启发我们把两个这就是另一个基本的积分方法：分部积分法.函数乘积的微分法则反过来用于求这类不定积分，积分得:分部积分公式或1)v容易求得;容易计算.由导数乘法公式：第四章（IntegrationbyParts）补充例题16解:令则∴原式另解:令则∴原式三、分部积分法答案一般说来,当被积函数为下列形式之一时,可考虑运用分部积分法进行计算:幂函数与三角函数(或反三角函数)之积,指数函数与三角函数(或反三角函数)之积,幂函数与指数函数之积,指数函数与对数函数之积,一个函数难于用其它方法积分,两个函数的乘积.把被

5、积函数视为两个函数之积,按“反对幂指三”的顺序,前者为后者为补充例题18求解:令,则原式=反:反三角函数对:对数函数幂:幂函数指:指数函数三:三角函数解题技巧:自主学习课本P144-P145例4.2.18与例4.2.19答案：.答案：补充例题22答案：补充例题23答案：解:令则∴原式补充例题24解:令,则∴原式再令,则故原式=说明:也可设为三角函数,但两次所设类型必须一致.补充例题26自主学习课本P145-P146例4.2.20-例4.2.24