D5-2.2高阶偏导数.方向导数与梯度.ppt

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1、第2.2节高阶偏导数、方向导数与梯度二、方向导数三、梯度一、高阶偏导数作业习题5.2(A)15,16,17,18,19,21,22,25一、高阶偏导数设z=f(x,y)在域D内存在连续的偏导数若这两个偏导数仍存在偏导数，则称它们是z=f(x,y)的二阶偏导数.按求导顺序不同,有下列四个二阶偏导数：（混合偏导数）类似可以定义更高阶的偏导数.例如，z=f(x,y)关于x的三阶偏导数为z=f(x,y)关于x的n–1阶偏导数,再关于y的一阶偏导数为3/23例1.求函数解:注意:此处但这一结论并不总成立.的二阶偏导数及4/23例

2、如,二者不等5/23则定理.例如,对三元函数u=f(x,y,z),说明:本定理对n元函数的高阶混合导数也成立.函数在其定义区域内是连续的,故求初等函数的高阶导数可以选择方便的求导顺序.(即与求导次序无关.)因为初等函数的偏导数仍为初等函数,当三阶混合偏导数在点(x,y,z)连续时,有而初等(证明在课件P29-30)6/23例2.证明函数满足拉普拉斯证：利用对称性,有方程7/23（偏微分方程）二、方向导数定义:若函数则称为函数在点P处沿方向l的方向导数.在点处沿方向l(方向角为)存在下列极限:记作8/23定理:则函数在该

3、点沿任意方向l的方向导数存在,证明:由函数且有在点P可微,得故9/23对于二元函数为,)的方向导数为特别:•当l与x轴同向•当l与x轴反向向角10/23例3.求函数在点P(1,1,1)沿向量3)的方向导数.解:向量l的方向余弦为11/23解2:按定义做，麻烦。例4.设是曲面在点P(1,1,1)处指向外侧的法向量,解:方向余弦为而同理得方向的方向导数.在点P处沿求函数12/23三、梯度方向导数公式令向量这说明方向：f的值增长最快的那个方向;模:f的最大方向导数的值.方向导数取最大值：13/23例5.求函数在点P(2,

4、3)沿曲线朝x增大方向的方向导数.解:将已知曲线用参数方程表示为它在点P的切向量为14/231.定义即同样可定义二元函数称为函数f(P)在点P处的梯度记作(gradient),在点处的梯度说明:函数的方向导数为梯度在该方向上的投影.向量2.梯度的几何意义15/23称为函数f的等值线(P5).则L*上点P处的法向量为(P29)同样,对应函数有等值面(等量面)当各偏导数不同时为零时,其上点P处的法向量为16/23（等值线实质就是曲面z=f(x,y）与平面z=C的交线在xoy坐标平面上的投影.）3.梯度的基本运算公式17/2

5、3函数在一点的梯度垂直于等值面(或等值线)在该点的切线(或梯度与等值线在相应点的法线平行),指向函数增大的方向.例6.证:试证处矢径r的模,18/23例7.已知位于坐标原点的点电荷q在任意点试证证:利用例4的结果这说明场强:处所产生的电位为垂直于等位面,且指向电位减少的方向.19/23内容小结混合偏导数连续与求导顺序无关求高阶偏导数的方法逐次求导法(与求导顺序无关时,应选择方便的求导顺序)1.高阶偏导数20/232.方向导数•三元函数在点沿方向l(方向角的方向导数为•二元函数在点的方向导数为沿方向l(方向角为21/23

6、3.梯度•三元函数在点处的梯度为•二元函数在点处的梯度为22/235.方向导数的几何意义(P26)4.几个概念之间的关系方向导数存在偏导数存在•可微梯度在方向l上的投影.23/23思考与练习1.设函数(1)求函数在点M(1,1,1)处沿曲线在该点切线方向的方向导数;(2)求函数在M(1,1,1)处的梯度与(1)中切线方向的夹角.24/30曲线1.(1)在点解答提示:函数沿l的方向导数M(1,1,1)处切线的方向向量25/3026/30备用题1.函数在点处的梯度解:则注意x,y,z具有轮换对称性(92考研)27/30指

7、向B(3,－2,2)方向的方向导数是.在点A(1,0,1)处沿点A2.函数提示:则(96考研)28/30证:令则则定理.令29/30补充内容同样在点连续,得30/30数学实验安排第8周（4月10号）\第10周（4月24号）第12周（5月8号）\第14周（5月22号）主C-204上数学实验理论课第13周上机实验，地点:理科楼－2261.ACCA11,12,公管11时间:（5月15号）星期二早上8:00-12:00;2.软件11,12,13,14时间:(5月15号)星期二晚上18:00-22:00;第15周上机实验，地

8、点:理科楼－2261.ACCA11,12,公管11时间:（5月29号）星期二早上8:00-12:002.软件11,12,13,14时间:(5月29号)星期二晚上18:00-22:00;