高等数学——理工版教学课件作者王德华1.2数列的极限.ppt

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1、授课说明授课班级11机械类日期2011年9月日授课题目1.2数列的极限授课内容1.数列极限的概念2.收敛数列的性质3.极限的四则运算法则4.无穷递缩等比数列求和教学形式多媒体讲授目的要求掌握数列、数列极限、数列收敛发散的定义，熟练掌握数列极限的判断，数列极限的四则运算法则。重点难点数列极限的判断数列极限的四则运算法则作业布置课后作业书一、案例二、知识要点三、应用1.2数列的极限如可用渐近的方法求圆的面积S？用圆内接正多边形的面积近似圆的面积S.A1A2A3A1表示圆内接正6边形面积,A2表示圆内接正12边形面积,A3表示圆内接正24边形

2、面积,An表示圆内接正62n-1边形面积,,.显然n越大,An越接近于S.因此,需要考虑当n时,An的变化趋势.一、案例1[圆面积的计算]割圆术春秋战国时期哲学家庄子在《庄子·天下篇》中对“截丈问题”有一段名言：“一尺之锤，日取其半，万世不竭”，意思是说，一尺长的木棍，每天截取它的一半，这个过程将无穷无尽，其中也隐含了深刻的极限思想。一、案例2[截丈问题]定义1如果按照某一法则,对每一nN,对应着一个确定的实数yn,则得到一个序列：y1,y2,y3,,yn,,这一序列叫做数列,记为{yn},

3、其中第n项yn叫做数列的一般项(通项).二、知识要点（1.2.1）数列极限的概念观察：下列数列的变化趋势(1)(2)(3)(4)定义2数列的极限若对于数列｛yn｝,当n无限增大时，数列的通项yn无限接近于常数A，则称A是数列｛yn｝的极限，或称数列｛yn｝收敛于A，记作或若数列｛yn｝没有极限，则称数列｛yn｝是发散的。例题：(1)(2)(3)(4)不存在不存在1)（唯一性）若数列{yn}收敛，则其极限值唯一。2)（有界性）收敛数列必有界。推论：无界数列必发散。（1.2.2）收敛数列的性质例题1.讨论下列数列的极限情况①②（1.2.3）

4、数列极限的四则运算根据极限的定义，可用观察的方法求出了一些简单数列的极限，但对于比较复杂的数列，用观察法求极限很难，需要研究数列极限的运算。下面我们给出数列极限的四则运算法则。数列极限的四则运算法则：设有数列且则(1)(2)(3)(4)注：法则(1),(2)可以推广到三个及三个以上有限个数列极限的情形1.2.4、无穷递缩等比数列求和公式例题4.求等比数列的前n和，并求当时数列的极限。解：定义3一般的，等比数列，当时，称为无穷递缩等比数列。其前n项和，当时的极限叫做这个无穷递缩等比数列的和，并用符号S表示因为所以称公式为无穷递缩等比数列的

5、求和公式。三、应用练习1[循环数]观察循环数列的变化趋势，可以看出，随着项数n的无限增大，此数列无限接近于1，即练习2[弹球模型]一只球从100米的高空掉下，每次弹回的高度为，这样下去，用球第上次高度的次的高度来表示球的运动规律，则得数列从数列的变化趋势可以看出，随着次数n的无限增大，数列无限接近于0，即练习3[存款分析]若某人有本金A元，银行存款的年利率为r，不考虑个人所得税．试建立此人n年末的本利和数列，并分析此数列的极限，解释其实际意义．解n年末的本利和为其实际意义为：存款时间越长，本利和越大，当存款时间无限长时，本利和也无限增大

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