费尔马小定理及其应用

《费尔马小定理及其应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、费尔马小定理及其应用费马尔（Fermat）小定理是初等数论中的一个重要定理，数学竞赛中经常需要用到这个定理.Fermat小定理设为质数，为整数，则特别地，若／，则例1设、为正整数，是模的一个完系，可知┄，也是模的一个完系（完系的定义见节）.所以，由同余的性质知即结合（可知结论成立.说明尽管当为奇数时，对和式，可以通过“首尾配对”，即将与配对后用因式分解的方法证出，但在为偶数时，这种配对就无效了.请仔细体会证明中“整体处理”的思想.下面我们将视角换到Fermat小定理的应用上.例2设为正整数.证明：

2、的充要条件是.证明若，则／，于是，由Fermat小定理，知从而，由，知，故反过来，若则∕，并且，即，利用小定理知故命题获证。说明涉及指数的同余式经常需要用到小定理，因为由小定理得出的结论中，同余式的一边是，这带来很大的方便.例1由小定理知，对任意奇质数，都有问：是否存在合数，使得成立？解这样的合数存在，而且有无穷多个.其中最小的满足条件的合数（它是从两个不同奇质数作乘积去试算出来的）.事实上，由于故所以故341符合要求.进一步，设是一个符合要求的奇合数，则是一个奇合数（这一点利用因式分解可知）。再

3、设为正奇数，则因此也是一个符合要求的数.依此类推（结合符合要求），可知有无穷多个满足条件的合数.说明满足题中的合数称为“伪质数”，如果对任意都有成立，那么合数称为“绝对伪质数”.请读者寻找“绝对伪质数”.例1设为质数.证明：存在无穷多个正整数，使得.证明如果，那么取为偶数，就有，命题成立.设，则由Fermat小定理知因此，对任意正整数，都有所以，只需证明存在无穷多个正整数，使得（这样，令就有.而这只需这样的当然有无穷多个.所以，命题成立.说明用Fermat小定理处理数论中的一些存在性问题有时非常方

4、便、简洁.例1设为整数，是的奇质因子，证明：证明由于为奇质数，若≡／则，可设，此时，由得而由小定理，应有结合上式将导出.矛盾.所以，说明利用此题的结论，我们可以证明：存在无穷多个模余的正整数为质数.事实上，若只有有限个质数模余，设它们是.考虑数的质因子即可导出矛盾.例1求所有的质数，使得是一个完全平方数.解设是一个满足条件的质数，则显然是一个奇质数.由小定理知，而故或由于所以，与中恰有一个成立.若，则由条件及可知存在正整数，使得，此时所以，与都是的冥次，而为奇数，故与是两个相继的偶数，所以，只能是

5、故，此时若，则同上知存在正整数，使得当时，导致矛盾，故另一方面，当和时，分别为和，都是完全平方数.综上可知或.