一、费尔马（Fermat）定理

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1、一、费尔马(Fermat)定理注1.xyo水平切线P注2.证明：由定义及函数极限性质可证.注3.二、拉格朗日(Lagrange)定理1.洛尔(Rolle)定理xyo注1.注2.几何意义:注3.三条件缺一，则Rolle定理可能不成立.例如：1-111由图像可见，三个函数Rolle定理都不成立.说明：Rolle定理的三个条件都是充分条件.证明：由⑴在必有最大值M和最小值m.若M=m，则M和m中至少有一个不等于于是在内至少存在一点，使得（或），从而对（或）.据Fermat定理，得2.Lagrange定理（微分中值定理）oabxyAB微分中值公式注1.Rolle定理是Lagra

2、nge定理当时的特殊情况.注2.几何意义：如图直线AB的方程注3.微分中值定理是沟通函数及其导数之间的桥梁，是应用导数的局部性质研究函数全局性质的重要工具.注4.定理的条件是充分的，但不是必要的.Rolle注3.上一点的切线平行于直线AB.证法：作辅助函数是与直线AB之差，即则新曲线上一点的切线平行于x轴.证明：⑴⑵（或）则（或）由Rolle定理得证.作平移微分中值公式的其它形式:①②即：③④在定理条件下，Corollary1.即导数恒为零的函数必是常数函数.Corollary2.证明：李普希兹(Lipschitz)条件:Corollary3.例1.证明：由零点存在定理

3、，知此即为方程的小于1的正实根.矛盾,例2.证明:三、柯西(Cauchy)定理注1.当注2.Rolle定理、Lagrange定理、Cauchy定理都具有“中值”性，统称为微分中值定理，它们的关系是后者包含前者.证明：作辅助函数（或）则由Rolle定理得证.注3.Cauchy定理之证例3.证明:结论可变形为四、小结Rolle定理Lagrange中值定理Cauchy中值定理罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；注意定理成立的条件；注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤.