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时间:2020-05-22
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1、r一一1{命题与解题;解题小晶类聚群分陶牛生(江西科技!J『Ij范人数算机学院,3300i3)中图分类号:0141.2文献标识码:A文章编号:1095—6416(2014)09—0006—06战时期行化人大名叫淳于髡.他博其}1’必有六个三角形,能够配成全等的三对奠:多/r,能’j蒋卉矗王0玖掘贤纳士,于是,情形是复杂的.浮r举荐尺聚泞于髡一天内接连向齐宣此时,町采刚集装箱或打包的办法,将问r搦iL位髓≯一“个更高的层次上讨论借川适当的“舟船求宣工很悚:,就对淳于髡说:“寡人听说,人加以“搭载”,从丽摆脱对
2、于细节的纠缠。才是稀缺的,如果酉t年内就能找到一位贤才,证明如图1j_;};贤才鄢会多得像过江之鲫,比肩接踵。现在,你⋯广l就给我举荐r匕个贤士,那天下贤士是不是太多_r些?”,4淳于髡同答道:“话不能这样说.要知道,同类的乌儿总会聚在一起飞翔,同类的野兽总是聚>一起行动.人们要寻找柴胡、桔梗这类药材,如《果到水泽洼地去找,恐怕永远也找不到,要是到泰山的背面去采集,那就可以满载而归.这是因为物以类聚,人以群分.我淳于髡大概也算个贤士所以让我举荐贤士,就如同在黄河里取水、在燧石中注意到,取火一样容易.我今后还
3、打算再给您推荐一些,何(1)在以AD、BC为底的等腰梯形ABCD巾,止这七个!”存存两X寸全等三角形:“聚类”与“分类”思想在数学解题过程中是AA日C△DCB,△BAD△CDA,既对立又统一的两个方面,往往相互配合使并且梯形的每个顶点均在其中一对全等三角形中用1。两次出现.(2)若为等腰梯形ABCD的两底AD、BC1图形打包中垂线上的任意一点(但异于两腰延长线的交例1从圆周的九等分点中任取五点染为红点),则AMAB△MCD色.证明:存在以红点为顶点的不同的六个三角形于是,只需证明存在这样的等腰梯形.△。,△
4、,⋯,,满足(i)先证明,在五个红点中必有某四点构成等△.△2,△,,△5△6.腰梯形的四个顶点.【分析】从九点之中任取五个点,有C;=126不妨设圆周上九等分点相邻两个分点间的弧种取法.又以五点中的每三个点为顶点作三角形,长为1.若一条弦所对的劣弧长为k,则称该弦的可得卜个三角形,而在每种情形下,均需要指出,“刻度”为k.于是,以分点为端点的弦的刻度只有收稿日期:2013一l1—211、2、3、4这四种情形.2014年第9期7显然,两弦相等当且仅当其刻度相等.存在另一对全等三角形△MABC,V△MDC.于
5、是,五个红点共得C;=10条红端点的弦,若该红点异于点,据图形的对称性,只需考其中必有三条弦具有相同的刻度.虑红点为P或Q的情形.对每个k,由于同一点只能发出两条刻度为k再证明,无论增加红点P或Q,图形中均将新的弦,且以九等分点为端点的任一条弦不为直径,增~个等腰梯形.因此,若两条等弦无公共端点,则其四个端点便构若增加红点P,则成等腰梯形的四个顶点.在图(1,2)中,增加了梯形PBAD;若这三条等弦不能围成三角形,则其中有两在图(1,3)中,增加了梯形PDCB;条等弦无公共端点,于是,其四个端点构成等腰梯在
6、图(1,4)中,增加了梯形PCBD;形的四个顶点.在图(2,3)中,增加了梯形PBAD;若这三条等弦能围成三角形,则为正三角形.在图(2,4)中,增加了梯形PADC;于是,这三条弦的刻度均为3.若还有刻度为3的在图(3,4)中,增加了梯形PBAC.弦z,则该弦与正三角形的每条边无公共端点,此若增加红点Q,则时,弦Z与正三角形的每一条边所形成的四个端在图(1,2)中,增加了梯形QDBC;点均构成等腰梯形的四个顶点.除了正三角形的在图(1,3)中,增加了梯形QADC;边之外,若再无刻度为3的弦,则去掉这三条弦,
7、在图(1,4)中,增加了梯形QBCD;.剩下的七条弦中只有1、2、4这三种刻度,其中必在图(2,3)中,增加了梯形QABC;有三条弦具有相同的刻度,这三条等弦不可能围在图(2,4)中,增加了梯形QCAB;成三角形.因此,其中有两条等弦无公共端点.于在图(3,4)中,增加了梯形QABD.是,其四个端点便构成等腰梯形的四个顶点.而据(i),新增红点必在新增梯形的一对全等(ii)由于弦的刻度只有1、2、3、4四种情形,三角形中两次出现.也就是增加了一对新的全等故等腰梯形上、下两底的“刻度对”只有(1,2)、三角形
8、.(1,3)、(1,4)、(2,3)、(2,4)、(3,4)这六种可能,因此,在给出的五个红点中,存在六个以红点顺次如图2中六图所示.为顶点的三角形,它们可配成全等的三对.综上,本题得证.例2如图3,两个正三角形交叠成一个六角星.现将正整数1,2,⋯,l2分别填于图中的12个结点处,使得每条直线上所填的四数之和B相等.(1)试求六角星的网3六个顶点al,a2,⋯,a6图2处填数之和的最小值;(2)证明:适合条件的
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