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1、年第期解题小品一出尔反识陶平生江西科技师范学院数学与计算机科学系中田分类号丨文献标识文章编号:“”成语出尔反尔出自《孟子梁惠王下》:出试求红点个数的最小值广意指反复无常《个点情形下的不同红点(中乎尔者,反乎尔者也、言不守信解将具有本文将该成语作为一种解题思想在解证一类数点个数的最小值记为显然,学问题时,,从简单情形发,再对般的情形进行`化归,返刚自身始结构或鮮情縣处“”考虑个点共线的情形称这种方法为出尔反尔取所共之线为数轴,自左至右,设这个点为例对于空间给出的任意个点“…次,、用记号表示点先于点,,,若将其中每一对点所连线段的中点均染成红色,即数轴上的点在的左边,则收稿曰期七提示:先
2、证、、、四点共圆已知仏和、仏和￡、厂和尽分别为同理财、财,、况,乂乂分别四点共圃的三边、、所在直线上的点,且由斯理即知成则叫萬、设点在厶他:内,在边、上??《及六￡民、尽、、的中点、、、、、点的射影分别为、、。广是的等角共轭点点在上,且同样定义共圆证明六点共風提示:设、、、、分别为、、、即`提示:设为的中点的中点,则由三角形中线长公式有即《、、、四点共圆同理兑呢腿同理』分别四点共圆由等角共轭点的性质,知其在各边上的射影由戴维斯定理即得结论共圆参考文献:从而一几何分册,沈文选等高中数学竞赛解题策略于是￡即知”杭州:浙江大学出版社,,数学林中等数学四点共圆第仰届试题解答中等数学问理,”、
3、、,、、!分另四点年中国国家集训队教练组数学奥林匹克试题集锦上海华东师范大学出版社,由戴维斯定理即得结论中等数学…又设山次,的,中点为,……,力的中点为《则显然有…《现考虑这些信息与数列的固有项之间的内在—这样至少得到个互不相同的红点:联系注意到,而于是,,此最小值可以达到(例,如点取为,而,考虑个点共面的情形;设七…面上给定的任意个,七,,人为平而点将两两之间所连线段的中点(红点)作出,记纟:'````;人牟的中点为,全部点及合起来也贿有限多个,其两两之间的连线只有有限多条,据此猜测,对每个正整数均有故必存在直线丨条连线垂直,不与其中任乂。广①现将所有这些点投影到直线上,则任两个、
4、、为便年于证明日才式①还需岭给出屮一木个生关于芊的的递绝不同的点在上的投影点均不会重合右设点、上的投影点分别为、,丨丨厂丨在;丨丨尸丨也为线段的中点一则。,即这种映射为对的这麵町髓⑴,此时,'类似地,对于空间给定的任意个点,成立…间雌线細中点红点,,若将丽之杆,由式①、②及—…有作出,记从的中点为,全部点及合丨°起来也只有有限多个,其两两之间连线只有有限多条《不与其中任一,故必存在平面,条连线垂直将所有这些点投影到平面上,任两个不同的点在平面上的投影点均不会重合若设点、面《上的投影点分别为、丨在平丨也为线段的中点即这种映射〈丨,则〈,也为一对一的这就返回了情形此时,,,一由此例看出,
5、特殊中有时也隐含着般评注一往往【】对于有关数列的类定性问题,「°“需要将其联系到自身结构上考虑,即返回到使用::数列本身的项来表达相細性质;从例巳知数列丨满足,〖证明:对任意的均可表为两个正整数的平方和〖〖证明由条件得年第期因此,式①、②对于《也成立由上讨论,若将开始时有张牌时移动到剩故由数学归纳法一,对每个正整数,式①、②下最后的张牌的编号为则均成立,且式①表明,、为两个正整数丨(的平方和例叠纸牌共计《张,自上而下编号为丨设“(也可…一:张丢,,,现进行如下操作先把最上面'此时,均有开一张放到最下面把此时手中最,再把其次,然后一上面张丢开一下面的问题是例的变形,把其次张放到最下面如
6、此继一顺时针方续张牌问这张牌原来的编号?例绕圆周放置有个球,依,最后手中只剩…球开始取解(先考虑简单情形向编号为,然后,自某个一一球当为偶数且顺次对手中的每张牌均移动了按顺时针方向每隔球取走,如此不断地取一次要么丢开一,要么放到下面)时,显然,经过这下去最后圆周上只剩下个球问当球的编号一□剩的那个球恰是号球?样的轮操作后张被丢开留下的张牌为何值时,最后所,有,而解最下面的张是最后次細下面細,故舰,则原先移动之前的最后一张当取球的程序是从编号为的球开始时一个准备取走的球考虑纸牌张数时的情形在取球人走到下(编号为的一上时)的位置,实际上是相当于把编号为的若,即,此时,手中只有张牌,故球一
7、所余的张牌就是第一张也即第张球放到了他前进方向的最远处而当他取走编号,一一若,此时,为偶数,据(,知经为的球后,再行进到下个准备取走的球(编号为的球)的位置上时,实际上又是相当于把轮操作之后,有张被丢开,而手中留下的编号为的球放到了他前进方向的最远处如此—“二】张牌最下面的一张仍是原先移动之前的不断地取下去!一问题本质上最下面张即号牌故当取球的程序是从号球开始时,,由于手中所余牌数仍是的非负整数次与例完全相同,在此情形下由于一一幂,依次作下去每经轮移动,的
