解题小品——坐井观天

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1、2013年第6期7解题小品——坐井观天陶平生(江西科技师范学院数学与计算机科学系，330013)中图分类号：O157文献标识码：A文章编号：1005—6416(2013)06-0007-05成语“坐井观天”常常用来表示眼界狭早要踏进沟中．小．据说金灭北宋，掳去北宋两个皇帝徽宗和证明将直路视为数轴，机器人的足迹钦宗，关押在五国城，令其坐井观天十余年．看成数轴上的点列{：}．众所周知，从一个圆周上去掉一个点后，设想将数轴缠绕在一个周长为a的圆周其余的点可以与实数轴上的点一一对应，如z上．则全部小沟(，)

2、(k=1，2，⋯)将重图1．，合于圆周上的同一段弧，而在点列{}中，任两点在圆周上的位置都不会重合．事实上，若代表与<_『)的点在圆(=_周上的位置重合，则有整数m，使得DA图1此时，-2口-=_一!为有理数，矛盾．￡，m同理，从一个球面上去掉一个点后，其余既然圆周上有无穷多个不同的点。，，的点可与实平面上的点一一对应．⋯则必存在两点+，以其为端点的弧长于是，可将许多与有理数、无理数相关的，满足问题搬到圆周上来解决．‘。、，_、在解题中，也可将其理解为以小搏大，以x：j+k<局部驾驭整体．⋯不妨设．

3、++为逆时针方向(称xi+利用一个圆周，可以演绎出许多精彩纷在的“前方”)，如图2．呈的数学内容．下面先给出一个常用的模型．例1机器人过沟问题．在一条笔直的马路上，每隔相等的距离分别挖一条宽度为d的小沟，每相邻两条小沟的中心距离为口(0>d)．图2一机器人沿此直路前进，步长为b，其而，，+={(+k)b-jb}={kb}垒c，其中，0、b不可公度f即詈为无理数1．证明：若、u／中，{t}表示实数t的小数部分．将其每一步的足迹看成一个点，则机器人迟·‘。、则Ⅲ={(+2k)b一(+k)b}收稿日期：2

4、013—04-038中等数学={肋}=c．都不会重合(假若点与+在圆周z上重而不可能是点f(因任两点在圆周合，则弧长(rt+k)T—nT应为圆周长的整数上不可能重合)，故xi在xj+的前方．倍，即Ii}为整数，矛盾)．于是，圆周Z上有同理，可求得一系列的点xj，Ⅲ，+牡，{}的无穷多个点．⋯任两个相邻点间的弧长都是C．该点列中接下来证明：点集{}在圆周2上稠密，，的每点都比上一个点前移了弧长c，而弧长c即在圆周z上的任意位置、任意长度的弧段上含有{}的无穷多个点．小于弧长，故该点列中必有一点要落为此

5、，只需证在圆周Z的任意位置、任意人弧0；8中，即数轴上的相应点xj+础要落入某长的弧段上含有{}的一个点即可．一小沟(，，，)中．对任意的>0，设A是圆周Z上任一段因此，结论得证．长为a的弧．例2设，()是周期函数，和l是)由于圆周Z有{}的无穷多个点，必有的周期，且0

6、

7、j}}，故1>口>口+1>0(11,=1，2，⋯)，，‘。。、++2={(1"t+2Ji})一(1"g+k)T}且每个0(n=l，2，⋯)都是)的周期．={kT}=(2008，全国高中数学联合竞赛)而点不可能是(因任两点在圆周证明由于和l均是)的周期，则上不可能重合)，故点在+的前方．对任何整数k,s，数k+s均是，()的周期．同理，可求得一系列的点，+，，L⋯(1)若为有理数，设T=，其中，，任两个相邻点间的弧长都是，该点列中Ⅱ的每点都比上一个点前移了弧长．(n，b)=1，口>b≥1。则存在正整数

8、m、17,使而弧长<弧长ol=AB，故该点列中必，。_、，—nb=1．①有一点+要落人弧AB中．由a≥2，故有质数P，使得P由弧AB的位置及长度的任意性，知点集设口=pk(k∈N+)．{}在圆周Z上稠密．由式①得注意到，当数轴正向按逆时针方向缠绕mk—nkT：—1—．在圆周Z上时，则依逆时针方向的弧PT．长为P，。、1所以，是)的周期．n一[n](记为)，而弧P长为Y=1一P(即[nT]+1一nT)．(2)若为无理数，在数轴上标出点列显然，对于每个正整数n，Y都是f(x)0，1，2，⋯及T，2T，3

9、T，⋯的周期．将数轴正向缠绕于一个周长为1的圆周现按如下方式选择数列{0}：Z上．则数轴上的全体自然数在圆周￡上将重。、设PD。为圆周Z的半圆弧，+。(k=1，2，合于同一点P，而代表T，2T，3T，⋯的点(以下改记为，，，⋯)，任两点在圆周Z上⋯)是弧P的中点(如图3)．2013年第6期9l之比为无理数，由例l，知在无穷多个数，戈，⋯中，必有某个数(如=nlg2)要落人某个区间(a，b)(k∈N+)中，即a<