11解题小品——抽丝剥茧

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1、2014年第7期解题小品——抽丝剥茧陶平生(江西科技师范大学数学与计算机学院，330013)中图分类号：O157．1文献标识码：A文章编号：1005—6416(2014)07—0011—04“抽丝剥茧”或“抽丝剥笋”都是比喻根据顺由于2均<2013<2u，故2013号球为第10序逐渐披剥，以寻求事物的发生发展过程，从而，轮所放的．解决问题．因为2013为奇数，所以，其前面是第9轮放例1某人将2013个球按以下规则顺次放的球，编号为：1007．置于一个圆周上：先放第一个球，再按逆时针方向‘再计算2013号球后面的

2、球的编号(设为k)．绕圆周前进，每当越过原先放的一个球之后，则在去掉第1O圈所放的球，则2013号球后面的此间隙中放一个新球；如此继续．第k次放的球令球k便成为第9轮放的1007号球后面的球．其编号为k．当这些球均放完后，求与第2013号由于1007也为奇数，其前面的球为第8轮球相邻的两个球的编号．解按抽丝剥茧之法，分层考虑．所放的，编号为：504，再去掉第9圈所当开始放好第1、2号球后，继续绕行一圈，则放的球，则2013号球后面的球k便成为第8轮放依次放第3、4号球；绕行第二圈后，依次放第5、的504号球后面

3、的球．6、7、8号球；绕行第三圈后，依次放第9，10，⋯，16因为504为偶数，所以，其后面的球编号为号球；⋯⋯绕行第k圈后，依次放第2+1，2+2，504：⋯252，即k：252．，2¨号球．现考虑第k圈，称第k圈所放的2个球为因此，2013号球前面的球为1007号，后面“新球”，以往各圈所放置的全部2个球为的球为252号．“旧球”．例2数列{a}：则当第k圈的球放置完毕后，每一新球的两1，1，2，1，1，2，3，1，1，2，1，1，2，3，4，⋯．侧必为旧球，而每一旧球的两侧必为新球，并且第其构作方法为：k

4、圈所放的2个球，应分别插放于第k一1圈所放首先给出a=1，接着复制该项1后，再添加的2k-1个球的两侧．其后继数2，得a：=1，口=2；因此，对于第k一1圈所放的第m号球，其前接下来复制前面所有的项1，1，2，再添加2面(依前进方向)插入的是(第k圈放的)2m号的后继数3，得球，后面插入的是2m一1号球．a4=1，a5=1，a6：2，a7=3；于是，对于第圈所放的第n号球，若n为偶接下来复制前面所有的项1，1，2，1，1，2，3，数，则其后面是第k一1圈放的球，编号为詈；若再添加3的后继数4，得前15项为二1，

5、1，2，1，1，2，3，1，1，2，1，1，2，3，4；n为奇数，则其前面是第k一1圈放的球，编号为如此继续．n+1试求口：。。。以及数列前2000项的和咖．丁‘(2000，南昌市高中数学竞赛)收稿日期：2013—12—16解据数列{a}的构作方法，易知12中等数学01：1，口3=2，口7Din．3，ol5=4，⋯⋯试问圆周上最多可得到几个红点?证明你的一般地，有a=n，即数n首次出现于第结论．2一1项，且若m=2一1+后(1≤≤2一1)，贝0(1991，南昌市高中数学竞赛)口m·解先考虑一般具有2个点的圆周．

6、由于2000=2m一1+977，(1)在2n个点的圆周上，若染出的第一个红977=2一1+466．点为偶数号点，如第2Ji}号点，则依染色规则，以后466：2一1+211．染出的每个红点均为偶数号点．此时，若将第2，4，⋯⋯211=2一l+84．，，，2分别改记为1，2，⋯，Ji}，⋯，凡，则84=2一1+21．不难看出，在2个点的圆周上，从2后号点开始所21=2一1+6．能染出的红点个数与在坨个点的圆周中自后号6=2一1+3．点开始所能染出的红点数相同，二者一一对应．(2)在2n个点的圆周上，若染出的第一个红

7、古定口2o0o=口977=0~466=口2l1=口84点是奇数号点，则染出的第二个点必为偶数号点，=2l=o6=口3=2．如第2号点．据(1)的讨论，知在此情形下，其也为求．s：。。。，先计算s．对应于17,个点的圆周中开始于号点的一种染由数列{0}的构作方法，知数列的前2一1法，且染出的红点数恰比／／,个点的圆周上的这种个项中，恰有染法所获得的红点个数多1．1个／1,，2个n一1，2个凡一2，⋯，(3)设／7,个点的圆周上所能染出的红点数目2个／1,一k，⋯，2．-1个1．的最大值为．厂(iO,)，且自Ji}

8、号点开始所染出的红点贝US2一l=／／,+2(n一1)+2(n一2)+⋯+数达到此最大值．则在2n个点的圆周上，自Ji}号2一X2+2一×1．点开始所染出的红点数应达到最大值f()+1故2S2一1=2n+2(n一1)+2(／I,一2)+⋯+(因第二个红点便是2号点)．2“一×2+2．从而，2n)=_厂(／／,)+1．两式相减得若n：2km，由上式得S2一l=一／7,+(2+22+⋯+2