06解题小品——类聚群分

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1、r一一1{命题与解题；解题小晶类聚群分陶牛生(江西科技!J『Ij范人数算机学院，3300i3)中图分类号：0141．2文献标识码：A文章编号：1095—6416(2014)09—0006—06战时期行化人大名叫淳于髡．他博其}1’必有六个三角形，能够配成全等的三对奠：多／r，能’j蒋卉矗王0玖掘贤纳士，于是，情形是复杂的．浮r举荐尺聚泞于髡一天内接连向齐宣此时，町采刚集装箱或打包的办法，将问r搦iL位髓≯一“个更高的层次上讨论借川适当的“舟船求宣工很悚：，就对淳于髡说：“寡人听说，人加以“搭载”，从丽摆脱对于细节的纠缠。才是稀缺的，如果酉t年内就能

2、找到一位贤才，证明如图1j_；}；贤才鄢会多得像过江之鲫，比肩接踵。现在，你⋯广l就给我举荐r匕个贤士，那天下贤士是不是太多_r些?”，4淳于髡同答道：“话不能这样说．要知道，同类的乌儿总会聚在一起飞翔，同类的野兽总是聚>一起行动．人们要寻找柴胡、桔梗这类药材，如《果到水泽洼地去找，恐怕永远也找不到，要是到泰山的背面去采集，那就可以满载而归．这是因为物以类聚，人以群分．我淳于髡大概也算个贤士所以让我举荐贤士，就如同在黄河里取水、在燧石中注意到，取火一样容易．我今后还打算再给您推荐一些，何(1)在以AD、BC为底的等腰梯形ABCD巾，止这七个!”存存

3、两X寸全等三角形：“聚类”与“分类”思想在数学解题过程中是AA日C△DCB，△BAD△CDA，既对立又统一的两个方面，往往相互配合使并且梯形的每个顶点均在其中一对全等三角形中用1。两次出现．(2)若为等腰梯形ABCD的两底AD、BC1图形打包中垂线上的任意一点(但异于两腰延长线的交例1从圆周的九等分点中任取五点染为红点)，则AMAB△MCD色．证明：存在以红点为顶点的不同的六个三角形于是，只需证明存在这样的等腰梯形．△。，△，⋯，，满足(i)先证明，在五个红点中必有某四点构成等△．△2，△，，△5△6．腰梯形的四个顶点．【分析】从九点之中任取五个点

4、，有C；=126不妨设圆周上九等分点相邻两个分点间的弧种取法．又以五点中的每三个点为顶点作三角形，长为1．若一条弦所对的劣弧长为k，则称该弦的可得卜个三角形，而在每种情形下，均需要指出，“刻度”为k．于是，以分点为端点的弦的刻度只有收稿日期：2013一l1—211、2、3、4这四种情形．2014年第9期7显然，两弦相等当且仅当其刻度相等．存在另一对全等三角形△MABC,V△MDC．于是，五个红点共得C；=10条红端点的弦，若该红点异于点，据图形的对称性，只需考其中必有三条弦具有相同的刻度．虑红点为P或Q的情形．对每个k，由于同一点只能发出两条刻度为

5、k再证明，无论增加红点P或Q，图形中均将新的弦，且以九等分点为端点的任一条弦不为直径，增～个等腰梯形．因此，若两条等弦无公共端点，则其四个端点便构若增加红点P，则成等腰梯形的四个顶点．在图(1，2)中，增加了梯形PBAD；若这三条等弦不能围成三角形，则其中有两在图(1，3)中，增加了梯形PDCB；条等弦无公共端点，于是，其四个端点构成等腰梯在图(1，4)中，增加了梯形PCBD；形的四个顶点．在图(2，3)中，增加了梯形PBAD；若这三条等弦能围成三角形，则为正三角形．在图(2，4)中，增加了梯形PADC；于是，这三条弦的刻度均为3．若还有刻度为3的

6、在图(3，4)中，增加了梯形PBAC．弦z，则该弦与正三角形的每条边无公共端点，此若增加红点Q，则时，弦Z与正三角形的每一条边所形成的四个端在图(1，2)中，增加了梯形QDBC；点均构成等腰梯形的四个顶点．除了正三角形的在图(1，3)中，增加了梯形QADC；边之外，若再无刻度为3的弦，则去掉这三条弦，在图(1，4)中，增加了梯形QBCD；．剩下的七条弦中只有1、2、4这三种刻度，其中必在图(2，3)中，增加了梯形QABC；有三条弦具有相同的刻度，这三条等弦不可能围在图(2，4)中，增加了梯形QCAB；成三角形．因此，其中有两条等弦无公共端点．于在图

7、(3，4)中，增加了梯形QABD．是，其四个端点便构成等腰梯形的四个顶点．而据(i)，新增红点必在新增梯形的一对全等(ii)由于弦的刻度只有1、2、3、4四种情形，三角形中两次出现．也就是增加了一对新的全等故等腰梯形上、下两底的“刻度对”只有(1，2)、三角形．(1，3)、(1，4)、(2，3)、(2，4)、(3，4)这六种可能，因此，在给出的五个红点中，存在六个以红点顺次如图2中六图所示．为顶点的三角形，它们可配成全等的三对．综上，本题得证．例2如图3，两个正三角形交叠成一个六角星．现将正整数1，2，⋯，l2分别填于图中的12个结点处，使得每条直

8、线上所填的四数之和B相等．(1)试求六角星的网3六个顶点al，a2，⋯，a6图2处填数之和的最小值；(2)证明：适合条件的