解题小品_一脉同源

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1、2009年第9期11命题与解题解题小品———一脉同源陶平生(江西科技师范学院数学与计算机科学系,330013)整数对于模的阶在许多竞赛试题中有着ab时,有=.于是,题设条件化为重要的应用.mmlmn4例1设三角形三边长分别是整数l、m、3≡3≡3(mod10).k4先求3≡1(mod10)的最小正整数解.n,且l>m>n.已知4lmn因为3=81,所以,3334=4=4,320=(1+80)510101012255其中,{x}=x-[x],而[x]表示不超过实数=1+C5·80+C5·80+⋯+C5·80=1+400k,x的最大整数.求这种三角形周长的最小值.(2003,全国高中数学联

2、赛)其中,(k,10)=1.50025故3=(1+400k)解:注意到,当a≡b(modm)(0≤b

3、5,上四个同色点组成梯形四个顶点.)a1+a2≤a5.5.求所有边长为2a的菱形,使得存在一与已知矛盾.)个圆与菱形的每条边相交,且每条边在圆内3.证明:对每个整数n(n≥6),存在一个的弦长都等于a.凸六边形,它可以分为n个全等的三角形.(2007,奥地利数学奥林匹克(第二轮))(1990,亚太地区数学奥林匹克)(提示:由对称性知圆心M为菱形ABCD(提示:将问题变为“将n个全等三角形中心.设AB的中点为H.则点H在长为a的拼成一个凸六边形.)弦上(含端点).于是,BM≥MH.4.将圆周上所有的点要么染为黑色,要所以,BHM≥60°,BAM≥30°.么染为白色.问:是否一定存在以圆周

4、上的点进而,BAD≥60°.同理,ABC≥60°.为顶点且三个顶点同色的:因此,菱形的内角均不小于60°.(1)等腰三角形;(2)等边三角形;反之,若菱形的内角均不小于60°,则以(3)矩形;(4)梯形?菱形中心M为圆心、MB为半径(MA≥MB)证明你的结论.的圆与每条边交得的弦长均不小于a.而当(第57届白俄罗斯数学奥林匹克)半径由大变小时,截得的弦长也由大变小.故(提示:若将半圆染黑,另半圆染白,则知存在满足条件的圆.)12中等数学4≡1(mod10).数,则称数n具有周期k,记为T(n)=k(例k4再证k=500就是满足3≡1(mod10)如,由的最小正整数解.事实上,若有最小的

5、正整数k0<500,能k04使3≡1(mod10),则k0

6、500.于是,或者可得,T(5)=4).k0

7、100,或者k0

8、250,即10042504(1)证明:每个大于1的奇数n都有周3≡1(mod10)或3≡1(mod10)期;中必有一个成立.(2)求2003的周期T(2003).注意到502525(2003,南昌市高中数学竞赛)3=9=(-1+10)1222525解:(1)易求得=-1+C25·10-C25·10+⋯+C25·104T(7)=3,T(9)=6,T(15)=4.≡-1+250(mod10).10024分析所得的结果发现:故3≡(-1+250)≡2001(mod10)

9、,42505T(5)=4,而2≡1(mod5);3≡(-1+250)312255T(7)=3,而2≡1(mod7);≡-1+C5·250-C5·250+⋯+C5·2506T(9)=6,而2≡1(mod9);4≡-1-3750(mod10),4T(15)=4,而2≡1(mod15).10042504即3≡1(mod10)或3≡1(mod10)皆据此猜测:对大于1的奇数n,若k是满不能成立.k足2≡1(modn)的最小正整数,则数n必有因此,kmin=500.周期k.取m-n=k=500,l-n=2k=1000,则下证此结论成立.m=500+n,l=1000+n.为此,用x表示整数x被n除

10、所得的余由m+n>l,得500+2n>1000+n.数,x{0,1,⋯,n-1},初始圈上的n个数所以,n>500.0,1,⋯,n-1分别改记为于是,n≥501,m≥1001,l≥1501.a0(0),a0(1),⋯,a0(n-1),从而,m+n+l≥3003,即三角形周长的不妨设这n个数在圆周上是按顺时针方向最小值为3003.排列的.而经过k轮操作后,圆周上的n个数下面的一道竞赛题与上题遥相呼应,并记为在解题过程中用到了2003为质数这一年号