特级数学名珍藏题第10讲 导函数的概念与法则和定积分初步 课后练习.doc

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1、第10讲导函数的概念与法则和定积分初步主讲教师：周沛耕全国著名数学特级教师题一：f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数，若f(x)，g(x)满足f′(x)＝g′(x)，则f(x)与g(x)满足(　　)A．f(x)＝g(x)B．f(x)＝g(x)＝0C．f(x)－g(x)为常数函数D．f(x)＋g(x)为常数函数题二：若函数在x=x0处的导数值与函数值互为相反数，则x0的值为.题三：曲线在点(1，3)处的切线方程为___________________.题四：已知函数f(x)＝x3－3x及y＝f(x)上一点P(1，－2)，过点P作直线l.(1)求使直线

2、l和y＝f(x)相切且以P为切点的直线方程；(2)求使直线l和y＝f(x)相切且切点异于P的直线方程．题五：已知函数f(x)(x∈R)满足，且的导函数，则的解集为（　　）A．B．C．D．题六：定义在R上的可导函数f(x)，且f(x)图像连续，当x≠0时,,则函数的零点的个数为（　　）A．1B．2C．0D．0或2题七：分别在曲线y=ex与直线y=ex-1上各取一点M与N，则MN的最小值为________．题八：已知函数,,设．若以函数图像上任意一点为切点的切线的斜率恒成立，求实数的最小值.题九：当时，求证题十：当时，求证：<题十一：已知f1(x)＝sinx＋

3、cosx，记f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，fn(x)＝fn－1′(x)(n∈N*，n≥2)，则f1＋f2＋…＋f2012＝________.题一：已知函数，对任意的x1，x2∈（0，2）且x1＜x2，己知存在x0∈（x1，x2）使得，求证：题二：设f(x)＝则f(x)dx=(　　)A.　　　B.　　　C.　　　D．不存在题三：的值是(　　)A．0B.C．2D．4第10讲导函数的概念与法则和定积分初步题一：C详解：由f′(x)＝g′(x)，得f′(x)－g′(x)＝0，即[f(x)－g(x)]′＝0，所以f(x)－g(x)＝C(C为

4、常数)．题二：.详解：先对函数进行求导，然后根据在x=x0处的导数值与函数值互为相反数可得答案．∵，∴，∴，∴，故答案为.题三：.详解：y′=3x2-1，令x=1得切线斜率2，所以切线方程为y-3=2（x-1）即2x-y+1=0，故答案为：2x-y+1=0.题四：（1）y＝－2；（2）9x＋4y－1＝0.详解：(1)由f(x)＝x3－3x得f′(x)＝3x2－3，过点P且以P(1，－2)为切点的直线的斜率f′(1)＝0，∴所求的直线方程为y＝－2.(2)设过P(1，－2)的直线l与y＝f(x)切于另一点(x0，y0)，则f′(x0)＝3x－3.又直线过(x

5、0，y0)，P(1，－2)，故其斜率可表示为＝，又＝，即＝，解得x0＝1(舍去)或x0＝－，故所求直线的斜率为k＝3＝－，∴y－(－2)＝－(x－1)，即9x＋4y－1＝0.题一：D详解：设,则，，对任意x∈R，有，即函数在R上单调递减，则的解集为，即的解集为.故选D.题二：C详解：由，得，当时，，即，函数此时单调递增。当时，，即，函数此时单调递减。又，函数的零点个数等价为函数的零点个数。当时，，当时，，所以函数无零点，所以函数的零点个数为0个。故选C.题三：.详解：∵切线与直线y=ex-1平行，斜率为e，设切点M（a，b），又切线在点a的斜率为y′

6、x=

7、a=ea，∴ea=e，∴a=1，∴切点的坐标M（1，e），∴切线方程为y-e=e（x-1），即ex-y=0；又直线y=ex-1，即ex-y-1=0∴则MN的最小值为.题一：.详解：，恒成立当时，取得最大值.∴，∴amin=.题二：证明略。详解：设函数当时，，故在递增，当时，，又，，即，故.题三：证明略。详解：设，则，所以在内递减，在内递增.故，又因故，得题一：0.详解：f2(x)＝f1′(x)＝cosx－sinx，f3(x)＝(cosx－sinx)′＝－sinx－cosx，f4(x)＝－cosx＋sinx，f5(x)＝sinx＋cosx，以此类推，可得出f

8、n(x)＝fn＋4(x)又∵f1(x)＋f2(x)＋f3(x)＋f4(x)＝0，∴f1＋f2＋…＋f2012＝f1＋f2＋f3＋f4＝0.题二：证明略。详解：∵对任意的x1，x2∈（0，2），若存在x0∈（x1，x2）使得，即，∴.令，则有F(x0)=0∴，当x∈(0，2)时，2lnx-3<2ln2-3<0，又有x2>x1>0，∴F‘(x)<0，即F(x)在(0，2)上是减函数。令，∴.设，∴.设∴，∴在上是减函数，∴.∴，即在上是减函数，∴.∴，∵F(x)在(0，2)上是减函数，∴.题一：C详解：f(x)dx＝x2dx＋(2－x)dx＝＋＝.题二：C详解

9、：＝＝2.