特级数学名师珍藏题第17讲 圆锥曲线经典精讲 课后练习

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1、第17讲圆锥曲线经典精讲主讲教师：王春辉北京数学特级教师题一：已知，是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，且．求椭圆离心率的取值范围．题二：椭圆与轴正向交于点，若这个椭圆上总存在点，使(为坐标原点)，求其离心率的取值范围．题三：已知椭圆的左焦点为，左右顶点分别为，上顶点为，过三点作圆，其中圆心的坐标为．（1）当＞时，椭圆的离心率的取值范围；（2）直线能否和圆相切？证明你的结论．题四：已知椭圆，它的上下顶点分别是A、B，点M是椭圆上的动点（不与A、B重合），直线AM交直线于点N，且．（1）求椭圆的离心率；（2）若斜率为1的直线l交椭圆于P、

2、Q两点，求证：与向量=（－3，1）共线（其中O为坐标原点）．题五：已知椭圆，、为两焦点，问能否在椭圆上找一点，使到左准线的距离是与的等比中项？若存在，则求出点的坐标；若不存在，请说明理由．题六：椭圆上不同三点，，与焦点的距离成等差数列．（1）求证：；（2）若线段的垂直平分线与轴的交点为，求直线的斜率．题七：如图所示，抛物线y2=4x的顶点为O，点A的坐标为(5，0)，倾斜角为的直线l与线段OA相交(不经过点O或点A)且交抛物线于M、N两点，求△AMN面积最大时直线l的方程，并求△AMN的最大面积题一：已知椭圆C的中心在原点，焦点、在

3、x轴上，点P为椭圆上的一个动点，且的最大值为90°，直线l过左焦点与椭圆交于A、B两点，△的面积最大值为12．（1）求椭圆C的离心率；（2）求椭圆C的方程．第17讲圆锥曲线经典精讲题一：．详解：设椭圆方程为（），，，，，则，．在中，由余弦定理得，解得．∵，∴，即．∴．故椭圆离心率的取值范围是．题二：．Vv详解：椭圆的参数方程是，则椭圆上的点，，∵∴，即，解得或，∵　∴（舍去），，又∴，∴，又，∴．题一：（1）＜＜；（2）不能与圆相切．详解：（1）由题意的中垂线方程分别为，于是圆心坐标为=＞，即＞即＞，所以＞，于是＞，即＞，所以＜，即

4、＜＜．（2）假设相切，则，，这与＜＜矛盾．故直线不能与圆相切．题二：（1）；（2）略．详解：（1）设M（x0，y0），又点A（0，b），B（0，－b）∴直线AM：解得：，即离心率．（2）设直线l：．题一：不存在．详解：假设存在，设，由已知条件得，，∴，．∵左准线的方程是，∴．又由焦半径公式知：，．∵，∴．整理得．解之得或．①另一方面．②则①与②矛盾，所以满足条件的点不存在．题一：（1）略；（2）．详解：（1）由椭圆方程知，，．由圆锥曲线的统一定义知：，∴．同理：．∵，且，∴，即：．（2）因为线段的中点为，所以它的垂直平分线方程为．又

5、∵点在轴上，设其坐标为，代入上式，得又∵点，都在椭圆上，∴∴．将此式代入①，并利用的结论得∴．题一：直线l的方程为y=x－1，△AMN的最大面积为8详解：由题意，可设l的方程为y=x+m,其中－5＜m＜0由方程组,消去y,得x2+(2m－4)x+m2=0①∵直线l与抛物线有两个不同交点M、N，∴方程①的判别式Δ=(2m－4)2－4m2=16(1－m)＞0,解得m＜1,又－5＜m＜0,∴m的范围为(－5，0)设M(x1,y1),N(x2,y2)则x1+x2=4－2m，x1·x2=m2,∴

6、MN

7、=4点A到直线l的距离为d=∴S△=2(

8、5+m),从而S△2=4(1－m)(5+m)2=2(2－2m)·(5+m)(5+m)≤2()3=128∴S△≤8,当且仅当2－2m=5+m,即m=－1时取等号故直线l的方程为y=x－1，△AMN的最大面积为8题二：（1）；（2）．详解：（1）设,对由余弦定理，得，解出（2）考虑直线的斜率的存在性，可分两种情况：i)当k存在时，设l的方程为………………①椭圆方程为由得于是椭圆方程可转化为………………②将①代入②，消去得,整理为的一元二次方程，得．则、是上述方程的两根．且，，AB边上的高ii)当k不存在时，把直线代入椭圆方程得由①②知S

9、的最大值为，由题意得=12所以,．故当面积最大时椭圆的方程为：