特级数学名师珍藏题第22讲 选修4系列部分知识经典精讲

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1、第22讲选修4系列部分知识经典精讲主讲教师：陈孟伟北京八中数学特级教师题一：在直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知射线与曲线(t为参数)相交于A,B两点,则线段AB中点的直角坐标为__________.题二：在极坐标中,已知圆经过点,圆心为直线与极轴的交点,求圆的极坐标方程。题三：直线与圆相交的弦长为___________.题四：已知两曲线参数方程分别为和，它们的交点坐标为___________．题五：如图,在极坐标系中,过点的直线与极轴的夹角.若将的极坐标方程写成的形式,则_________.题六：已知平面直角坐标系x

2、Oy内，直线的参数方程式为（t为参数），以Ox为极轴建立极坐标系（取相同的长度单位），圆C的极坐标方程为，则直线与圆C的位置关系是.题七：在直角坐标系xOy中,已知曲线:(t为参数)与曲线:(为参数,)有一个公共点在x轴上,则.题一：若直线（t为参数）与直线垂直，则常数=.题二：如图，PA切圆于点A，割线PBC经过圆心O，OB=PB=1，OA绕点O逆时针旋转600到OD，则.题三：已知圆中两条弦AB与CD相交于点F,E是AB延长线上一点,且DF=CF=,AF：FB：BE=4：2：1,若CE与圆相切,则线段CE的长为______.题四：如图,已知是圆的切线,

3、切点为,是圆的直径,与圆交于点,,圆的半径是,那么.题五：如图，过圆外一点分别作圆的切线和割线交圆于，且，是圆上一点使得，，则___________．题一：若存在实数使成立,则实数的取值范围是___________.题二：已知,不等式的解集为},则.题三：对于任意实数和，不等式恒成立，求实数的取值范围．题四：已知，求证：中至少有一个不小于.题五：如图矩形在变换的作用下变成了平行四边形，求变换所对应的矩阵．题六：已知二阶矩阵有特征值及对应的一个特征向量，并且矩阵对应的变换将点变换成．（1）求矩阵；（2）求矩阵的另一个特征值，及对应的一个特征向量的坐标之间的关

4、系；（3）求直线在矩阵的作用下的直线的方程．第22讲选修4系列部分知识经典精讲题一：详解：在直角坐标系下的一般方程为，将参数方程（t为参数）转化为直角坐标系下的一般方程为表示一条抛物线，联立上面两个方程消去有，设两点及其中点的横坐标分别为，则有韦达定理,又由于点点在直线上，因此的中点.题一：详解：∵圆圆心为直线与极轴的交点,∴在中令,得.∴圆的圆心坐标为(1,0).∵圆经过点,∴圆的半径为.∴圆经过极点.∴圆的极坐标方程为.题二：详解：将极坐标方程化为普通方程为与,联立方程组成方程组求出两交点的坐标和,故弦长等于.题三：详解：表示椭圆，表示抛物线,或（舍去

5、），又因为，所以它们的交点坐标为.题一：.(或)详解：的直角坐标也是(2,0),斜率,所以其直角坐标方程为,化为极坐标方程为:,,,,即.(或).题二：相切详解：直线l的方程式为，圆C的方程为，所以圆心到直线的距离,因此直线与圆C的位置关系是相切.题三：详解：曲线:直角坐标方程为,与轴交点为;曲线:直角坐标方程为,其与轴交点为,由,曲线与曲线有一个公共点在x轴上,知.题一：详解：将化为普通方程为,斜率,当时,直线的斜率,由得;当时,直线与直线不垂直.综上可知,.题二：详解：如图，作DE⊥CB于E．∵OB=PB=1，∴OA=1．又∵PA切⊙O于点A，则OA⊥

6、AP，∴∠AOP=60°．又∵OA绕点O逆时针方向旋转60°，∴∠DOC=60°．∴DE=1×sin60°，，∴.题三：详解：因为,所以是的中点.连结取的中点,则为圆心.设,则.由,得,即,所以根据切线长定理可得.所以.题一：2详解：由题意知,所以,根据切线长定理可得,即.题二：详解：由弦切角定理得，又，则△∽△，则，，即.题三：详解：,解得:.题四：.详解：由得，又不等式的解集为}，所以当时，不合题意；当时，，得.题五：≤x≤详解：由题知，

7、x－1

8、＋

9、x－2

10、≤恒成立，故

11、x－1

12、＋

13、x－2

14、不大于的最小值．∵

15、a＋b

16、＋

17、a－b

18、≥

19、a＋b＋a－b

20、

21、＝2

22、a

23、，当且仅当(a＋b)(a－b)≥0时取等号，∴的最小值等于2.∴x的取值范围即为不等式

24、x－1

25、＋

26、x－2

27、≤2的解．解不等式得≤x≤.题六：证明略。详解：证明：假设都小于，则.而＝

28、(1＋p＋q)＋(9＋3p＋q)－(8＋4p＋2q)

29、＝2，与矛盾，∴中至少有一个不小于.题一：详解：法一：由矩形变换成平行四边形可以看成先将矩形绕着点旋转，得到矩形，然后再将矩形作切变变换得到平行四边形．故旋转变换矩阵为：　　　　　　切变变换：，切变变换矩阵为　20090318矩阵，法二：设矩阵，则点，，故：，，即：　　解得：，　．　　　题一：（1）；（2），；（

30、3）.详解：（1）设，则=8=，故=，故联立以上两方程组解得，故．