对一道错题的再思考.pdf

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1、中小学数学2015年7、8月中旬(初中)对一道错题的河南省周口市JII证区表体局教研窒(466001)李世臣舒明2014年第12期《中小学数学》(初中版)中《对一道AD=x，DE=y，DB=m-x，BC：yA-n，由对称性可错题的思考》作者本意是对一道市级期中会考试题进知AC=x，CE=y．行错因分析和完善，但并未达到目的，所谓完善题目我们现在来探索m，n，t之间的数量关系．其实仍存在漏洞，本文意在指出问题所在，并将问题C一般化．C原题：如图1，在AABC中，LC=90。，将AACE沿着ADm一AE折叠以后C点正好落在l鲎I4A曰边上的点

2、D处．图1(1)若LB=28。，求因为ABDE~ABCA，所以=旦=罕．C的度数；整理得一=0①，，蕊十一m一n②．(2)若AC=6，BC=8，求DE的长度：m2①+m②，整理得：—m(-rt2)(3)若AE=√，EB：10，AB=13，求CE的长度．了_；②一m①，完善题目：在AABC中，LC=90。，将AACE沿着整理得y：．AE折叠以后C点正好落在A8边上的点D处．(1)若AB=28。，求LAEC的度数；-在Rt△ADE中=，所以(2)若AC=6，BC-~8，求DE的长度；t=(☆)．(3)若AE：二，船=10丢二，AB=13，求C

3、E的√m+n结论(☆)给出了m，，t三者满足的数量关系，告长度．诉任意两个都可以求出另外一个来．对于试卷原题，笔者按照试卷原题和完善题目问题(3)的条件用动态数学软件Geogebra作图，分别得出图2和图3，两令m=13，n=10，解得t一器丽≠；对于完者得到的直角三角形ABC沿AE翻折，直角顶点C均落善题目，令m-13，n=lo圭，解得t=厕≠不到AB边上，验证发现给出的条件不符合要求．问题出在哪呢?．由此可见作者和命题人犯了同样的错误，问题(3)给出的条件不仅多余，而且自相矛盾．结论(☆)可变形为￡而=【m—(m十m．式子结构符合圆幂

4、定理形式，启发我们能否通过图2图3构造圆求解呢?通过尝由直角三角形的判定定理可知，要确定直角三角试得到如下第二种解题C形只需要两个条件，若三角形确定，则折线CE和折痕思路．AE也相应确定．反过来，在AB，AE，BE三个量中若知如图5，过点曰作道两个，另一个是否可求呢?AB的垂线，与AE的延长图5如图4，设AB=m，BE=n(m>，1)，AE=t，第26页中小学数学2015年7、8月中旬(初中)线交于点H，则／_AEC=Z_HEB，由对称性可知，(1)以BE的长为直角边作等腰RtAGHhZADE=／_C=90。，所以ED／／BH，贝08日=

5、／_DEA：(2)以AE的长为直径作圆00，与G，切于点G；／_AEC=／_BEl1．所以BH=BE=n．以B为圆心，以BE为(3)作直线，0与00交于AE；半径作圆与直线AB交于F、G，则AF=m-n，(4)作肼的中垂线，与以A，为直径的圆交于点；AG=m+n．又AH=√m+n，由圆幂定理得(5)作AC_LBE，交BE的延长线于点C；AE·AH=AF·AG，所以t√m+n=(m一+，即(6)连接AB，AC．则Rt△ABC即为所求作2二．C√m+n的三角形．由结论(☆)可知，若m，n，t三个量中告诉两个另2．已知线段AE，AB，一个可求，

6、-并且三角形可确定．那么能否通过尺规方求作RtAABC，LC=90。，使法作出相应的三角形呢?于是从下面三个方面尝试得将AACE沿着AE折叠以ADFB探究．后C点正好落在AB边上．图81．已知线段AB，BE，求作RtAABC，LC=90。，分机如图8，作ADBE使得将AACE沿着AE折叠以后，C点正好落在AB边的角平分线EF，因为A平分ADBE的外角／_CED，由上．三角形内外角平分线性质得=一_丽DF，所以事实上，图5已经给出了这种情况的尺规作图方AD—DF月n法：干一而干历(1)作线段AB：—-_：盟，一~(m--x)．．十mmxm十

7、(2)以点为圆心，以BE为半径作圆；(3)过点B作BHJ_AB，与圆曰交于点日；在RtAaEF~P=、rrt1_)，，t2=m1‘．(4)连结AH，交圆曰于点；整理得t2一(*一)．(5)过点A作AC，交BE的延长线于点C．则AABC即为符合条件的三角形．由m，t确定后即可确定RtAABC．作法如下2．已知线段AE、BE，求作Rt△ABC，／_C=90。，(如图9)：使得将AACE沿着AE折叠以后C点正好落在AB边(1)以AE的长为斜边上．作等腰RtAAGE：分析由结论(☆)的第二种推导过程可知，(2)以点A为圆心，以RtAABC直角顶点

8、C翻折落在斜边AB上等价于AB的长为半径画弧，与RtAABH中构成等腰ABEH．如图6，取Ell的中点G，GE的延长线交于点；因为BE=BH，所以BGJ_EH，则AHGB~AHBA，所以(3)