k-严格伪压缩映象簇公共不动点的强收敛定理.pdf

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1、第31卷第2期重庆工商大学学报(自然科学版)2014年2月Vo1．31N0．2JChongqingTechnolBusinessUniv．(NatSciEd)Feb．2014文章编号：1672-058X(2014)02—0008—05一严格伪压缩映象簇公共不动点的强收敛定理术龚黔芬(重庆工商大学计算机与信息工程学院，重庆400067)摘要：利用投影技巧改进Mann迭代方法，建立了一个新的逼近有限个一严格伪压缩映象公共不动点的迭代方法，并在一定条件下证明了该方法所产生的迭代序列的强收敛定理。关键词：一严格伪压缩映象；改进的Mann迭代；

2、公共不动点；强收敛；半闭原理中图分类号：O177．91文献标志码：A0引言设日为一个实Hilben空间，其内积和范数分别表示为<>和l1．11．设K为一个日中的非空闭凸子集，为一个非线性算子。称：H为一严格伪压缩映象，如果存在常数k∈[0，1)满足I1一7l1≤Ij—Yl1+kI1(一T)x一(，一T)yIlV，Y∈K(1)当k=0时，称为非扩张映象，即『l一lI≤『J—Y『f，Vx，Y∈K。当k=1时，称为伪压缩映象，如果存在一个常数A∈(0，1)使得nA，为压缩映象，则称71为强伪压缩映象。显然，一严格伪压缩映象是介于非扩张映象和

3、伪压缩映象之间的一类映象形式，并且独立于强伪压缩映象而存在]。1953年，Mann介绍了一个逼近非线性算子不动点的迭代方法(Mann迭代)：+1=(1一)+Tx，V1∈K，n≥1(2)其中，序列{}c(0，1)并满足适当的控制条件。此后，非扩张映象和

4、j}一严格伪压缩映象的不动点逼近及其应用被许多学者广泛深入研究，并获得了一系列很好地收敛结果加']。然而，在无限维Hilbert空间中，通常的Mann迭代只能得到逼近非线性算子不动点的弱收敛定理，即使对非扩张映象也必须改进Mann迭代才能得到相应的强收敛定理。最近，ZhouL1叫介绍了一

5、个改进的Mann迭代方法，利用投影技巧研究一严格伪压缩映象：H的不动点逼近问题。设给定点UEK，序列{}，{卢}c(0，1)，该方法定义{}：r。∈2Y=PK[Ot+(1一)](3)【+l=卢+(1一)Y，V凡≥0并在适当的控制条件下证明了迭代序列{}强收敛到一严格伪压缩映象的不动点。在此基础之上，本文介绍一个推广的Mann迭代方法，进一步讨论有限个k一严格伪压缩映象{}，公共不动点的逼近问题，该方法如下定义{}：收稿日期：2013—06一o4；修回13期：2013-09-06．％基金项目：重庆市自然科学基金(CSTC201~jA0(

6、1Y39，CSTC201~cyjA0(XI31)；重庆市教委科技研究项目(KJ130"／12，KJ130731)作者简介：龚黔芬(1977一)，女，四川梓潼人，硕士，讲师，主要从事计算机应用与算法研究．第2期龚黔芬：一严格伪压缩映象簇公共不动点的强收敛定理9o=∈K{y=尸[+(1一)∑Ⅳ_。叼](4)+1=+(1一卢)Y，n≥01预备知识设日为一个实Hilbert空间，为一个日中的非空闭凸子集。本文以F()表示映象的不动点集，P表示日在K的投影，并以“”和“”分别表示序列的弱收敛和强收敛。引理1[1叫设：K日为

7、j}一严格伪压缩映象

8、，则F(T)为闭凸集。引理2[1。设：K日为一严格伪压缩映象且F(T)≠，则F(T)=F(T)。引理3[6设日为一个实Hilbert空间，则对任意的，Y∈H，有IJ+(1一)，，IJ≤￡IJIJ+(1一t)IJ，II一(1一)IJ一YfJ，Vt∈[0，1]引理412321设：日为Ij}一严格伪压缩映象，如果Sx=A+(1-A)Tx，V∈K，且A∈[k，1)，则S是非扩张映象且F(5)=F()。引理5[(半闭原理)设：K日为

9、j}一严格伪压缩映象，则I-T在任意点Y∈H半闭。引理6t设K为日的一个非空有界闭凸子集。对给定的日，z∈K，则

10、z=P的充分必要条件是<一z，z—y>>10，VY∈K。引理7”设{a}为一个非负实数列，且{}c(0，1)，如果a州≤(卜)an+，n≥O，并满足条件：(i)∑：。y=∞；(ii)limsup~。≤0或∑n=OII<∞。则limn__,口=0。注1[123设为Hilbert空间日的一个非空凸子集，设{}：日为Ai-严格伪压缩映象。如果实数列{}c(o，1)且满足∑N叼i=1，则∑叼：K_+日是A一严格伪压缩映象，其中A=max{A：1≤i≤Ⅳ}。注2[】设K为Hilbert空间日的一个非空凸子集，设{}：日为Ai-严格伪压缩映象。如

11、果F=n，F()≠，实数列{’7}c(0，1)且满足∑Nr／=Ⅱ，则F=，(∑N)。2主要结果定理1设K为Hilbert空间H的一个非空闭凸子集，设{}。：日为有限个ki-严格伪压缩映象且F=nⅣ_。F()≠。对给定∈K