一类非线性系统的稳定性及分岔分析.pdf

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1、云南民族大学学报：自然科学版，2014，23(1)：52—57CN53．．1192／NISSN1672—·8513doi：10．3969／j．issn．1672—8513．2014．01．012http：／／xb．ynni．edu．CB一类非线性系统的稳定性及分岔分析张宇功，常胜，王小斌(兰州交通大学数理学院，甘肃兰州730070)摘要：应用中心流形对一类含有二次和三次非线性项的Duffing系统降维，并数值模拟出其分岔图及Lyapunov指数图，对其进行分析，进一步研究其稳定性及分岔特性．关键词：中心流形；稳定性；

2、分岔；数值仿真中图分类号：0322文献标志码：A文章编号：1672—8513(2014)01—0052-06StabilityandbifurcationofaclassofnonlinearsystemsZHANGYu—gong，CHANGSheng，WANGXiao-bing(SchoolofMathematicsandPhysics，LanzhouJiaotongUniversity，Lanzhou730070，China)Abstract：AclassofDuffingsystemcontainingsqua

3、reandcubicnonlineartermsissimplifiedbythecentermani—foldtheory，andthebifurcationdiagramandlyapunovexponentgraphsarenumericallysimulated．Itsstabilityandbifurcationarediscussed．Keywords：thecentermanifold；stability；bifurcation；numericalsimulation从理论上对于非线性动力系统的研究比较

4、困1中心流形难，特别是高维非线性系统，因此我们希望通过一定的方法对其进行简化，并希望简化后的系统能够保考虑自治系统持原系统的动力学特性，通过国内外专家研究已经=，()．(1)产生了很多简化系统的途径，例如中心流形理其中，：D_+R是连续可微的，且DcR是包含原点论、范式方法、Lyapunov—Schmidt方法等等．=0的定义．Duffing方程是非线性理论中常用的代表性微定义1设M是一个连通的度量空间，满足分方程，尽管是从简单物理模型中得出来的非线性1)有开覆盖{}，即是开集，=u．；振动模型，但是其模型具有代表性

5、．工程中的许多非2)对任意的∈A，同胚于中的单位开线性振动问题的数学模型都可以转化为该模型，因球：={l∈R，<1}；此，人们对Duffing方程进行了广泛而深入的研究，3)若n≠，h和h口分别是从和并且对Duffing方程的混沌运动有了越来越深入的到R中单位开球B的同胚映射，则h=h·。是从了解和认识j．R“中的开集到R中开集h的可微映射，且对任本文首先描述了中心流形，用中心流形对一类比Dufing系统更一般的含有二次和三次非线性项意∈，雅克比矩阵的行列式非零，即lDh(x)I≠的受迫振动系统(Duffing方程可

6、以视为这一非线0．则称是一个维可微流形．性动力方程的特殊情形)降维，并研究其稳定性及k维流形有严格的定义，见文献[6]．分岔特性，它代表着许多非线性振动的控制方定义2如果n(x(O))=O~r／(x(t))兰0，程J．最后用Matlab进行仿真．Vt∈[0，t)c其中[0，t。)是解()有定义的时收稿13期：2013—09—18．基金项目：甘肃省国际科技合作计划项目(1104WCGA195)；甘肃省自然科学基金(1208RJZA111)作者简介：张宇功(1987一)，男，硕士研究生．主要研究方向：运筹学与控制论．第1

7、期张字功，常胜，王小斌：一类非线性系统的稳定性及分岔分析53间区间，则称流形{n(x)=0}是方程(1)的不变流况下，中心流形内系统的运动可由k阶方程形．Y=AlY+gl(Y，h(Y))(5)现在假设是2次连续可微的，则方程(1)可表描述，这个方程称为降阶系统．示为定理2在定理1的条件下，如果降阶系统(5)的原点Y=0是渐近稳定的(或非稳定的)，则整=A+()一)=A+dxIU个系统(2)一(3)的原点也是渐近稳定的(或非稳其中定的)．如果能够求出临界情形下非线性系统(1)的中)=)一心流形，那么就可以通过研究其约化

8、系统的稳定性是2次可微的，且来研究系统(1)的临界稳定性问题．根据中心流形0)=0；=0．对流的不变性，中心流形z=()的求解可考虑系统(1)的临界稳定性问题，根据中心流形的不变性，我们只考虑无法线性化处理的情况，故假设A在应用定理2时，需要求出中心流形z=h(Y)．有k个实部为0的特征值，m=n—k个特征值实部函数h为偏微分方程为负．我们总可