高中数学抽象函数的图像以及抽象函数常见类型及部分题目.docx

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1、函数fx的定义域为D，则其图像为：x,y

2、yfx,xD1，若把这个图像向左平移a个单位，得到新图像为：x,y

3、yfxa,xD简单说明：新图像上任取点x,y，向右平移a个单位得到xa,y，这个点在fx图像上，所以yfxa向右、上、下平移函数图象情况类似，请自己给出2，若把fx图像按照直线xa作一次对称，得到新函数为yf2ax简单说明：新图像上任取点x,y，按照直线xa作一次对称得到点2ax,y，这个点在fx图像上，所以yf2ax按照直线ya作对称类似，请自己给出需要指出的是，不能按照任意直线作对称得到新函数，因为新的图像不一定是函数图像（实际上那

4、是方程的图像），另外，按照直线yx作对称得到的是反函数，当然前提是该函数存在反函数。3，若把fx图像按照点a,b作对称，得到新函数y2bf2ab简单说明：新图像上任取点x,y，按照点a,b作对称，得到点2ax,2by，这个点在fx图像上，则2byf2ax，整理得y2bf2ax4，若把fx图像在水平方向上作伸缩，横坐标都变为原来的a倍（a0），纵坐标不变，那么得到新函数图像是yxfa简单说明：新函数图像上取点x,y，变回去x,y，这点在fx图像上，所以yfxaa至于竖直方向的伸缩，请自己给出＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝华丽的分割线＝＝＝＝＝＝＝＝

5、＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝下面是函数图像本身的对称性5，如果一个函数向左平移a个单位与原图像重合，即a是一个周期，那么按照第1条，yfxa这个新函数与原函数yfx重合，也就是说：fxafx6，如果一个函数有一条对称轴xa，那么按照第2条到的新函数yf2ax与原函数是同一个，也就是说：f2axfx，至于类似faxfbx这样的条件，改写一下是非常显然的7，如果一个函数有一个对称中心a,b，那么按照第3条，y2bf2ax与原函数是同一个函数，也就是说：fxf2ax2b，类似6，这个条件也可以作适当改写8，出于好奇，我们来看看

6、当fxx时函数会如何，显然，它会成为常函数fa＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝分割线路过＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝另外一类常见的变换是关于绝对值的9，把函数fx的图像在x轴下方部分全部作对称到上方，上方部分不变，得到新函数：yfx，这是显然的，去掉绝对值讨论一下就行10，把函数fx的图像在y轴右边部分全部作对称到左边，左边部分不变，得到新函数：yfx，这也是显然的去掉绝对值讨论一下就行＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝分割线再次路过＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝11，另外补充的是半周期，如果fxafx或者fxa1，那么a是半周fx期，

7、证明是容易的，请自己给出。另外我们可以知道，反推是不成立的，半周期可以有其它写法。一般的写法是fxagfx，且ggxx＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝分割线继续路过＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝关于抽象函数，除了图像外，还有一类题，如果能记得一些具体模型，会有一些好处。当然，不要满足于这几类，只有找到本质才能解决新题。表格放在最后。＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝分割线坚持路过＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝例1：（第7届希望杯）函数f(x)的值域(1,4]，则g(x)f(x)2f(x)的值域为4例2：（第5届希望杯）定义为R

8、的函数f(x)，对任何a,bR，都有f[af(b)]ab，则f219(4)．例3：设f(x)是[0,1]上的不减函数，即对于0x1x21有f(x1)f(x2)，且满足：（1）f(0)0；（2）f(x)1f(x)；（3）f(1x)1f(x)，则f(1)．322005例4：（第4届希望杯）设奇函数yf(x)的定义域为R，f(1)2，且对任意x1,x2R，都有f(xx)f(x)f(x)，当x0时，f(x)是增函数，则函数yf2(x)在区间1212[3,2]上的最大值是．2．抽象函数的单调性例5：（第14届希望杯）奇函数f(x)在区间[3

9、,7]上是增函数，在区间[3,6]上的最大值为8，最小值为1，2f(6)f(3)例6：设f(x)是定义在R上的增函数，且()(x)()，若，则fxffyf(3)y11成立的x的取值范围是．f(x)f(5)2x3．抽象函数的奇偶性例7：（第6届希望杯）f(x)是定义在R上的奇函数，它的最小正周期为2，则f(1)f(2f)(3)fA、1或0B、1或1C、0D、1例8：（第4届希望杯）函数f(x)的定义域是R，函数，已知，则g(x)f(x)2f(x)g(5)3g(5)．4．抽象函数的周期性数学试卷第4页共6页例9：（第12届希望杯）定义在实数集上的函

10、数f(x)，满足f(x1)1f(x1)，则1f(x1)f(1)f(2)f(3).....f(2000)2000的值为．例10：（第12届希望杯）定义在