常见抽象函数及作业

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1、常见抽象函数的题型常见的特殊模型:特殊模型抽象函数正比例函数f(x)=kx(kHO)f(x+y)=f(x)+f(y)幕函数f(x)=xnf(xy)=f(x)f(y)［或f(xf(x)］yf(y)指数函数f(x)=ax30且a^l)f(x+y)=f(x)f(y)［或f&y)=f(X)f(y)对数函数f(x)=logax(a>0且aHl)f(xy)=f(x)+f(y)［或/'(兰)=/(%)—心)］正、余弦函数f(x)=sinxf(x)=cosxf(x+T)=f(x)正切函数f(x)=tanxf(x+y)=尸5)+珂01-f(x)f(y)二.若/(X+G)二±/(无+历，

2、则/(兀)具有周期性;若fa+x)=±f(b-x),则/(x)具有对称性:“内同表示周期性，内反表示对称性”。三.周期的一些结论:1、/(x±T)=/(%)("0)o?=/(x)的周期为T,kT(kwZ)也是函数的周2、/(x+tz)=f(x+h)oy=/(兀)的周期为卩=：-。3、f(x+a)=_/(兀)<=>y=f(x)的周期为T=2a4、/(兀+a)=一!一<=>y=f(x)的周期为T=2a/U)5、f(x+a)=—y=/(x)的周期为T=2a/(兀)四关于对称的结论1若函数y=f(x)关于直线x=a轴对称，则以下三个式子成立且等价:(1)f(a+x)=f(a

3、—x)(2)f(2a—x)=f(x)(3)f(2a+x)=f(—x)2若函数y=f(x)关于点(a,0)中心对称，则以下三个式子成立且等价:(1)f(a+x)=—f(a—x)(2)f(2a—x)=—f(x)(3)f(2a+x)=—f(—x)易知，y=f(x)为偶(或奇)函数分别为性质1(或2)当3=0时的特例。五.两个对称推出周期1、y=f(x)有两条对称轴x=a和x=(b>a)oy=/(X)周期T=2(b-d)推论：偶函数y=/*(x)满足f(a+x)=f(a—x)u>y=f(x)周期T=2a2、y=f(x)有两个对称中心(a,0)和(方,0)(b>a)oy=/(兀

4、)周期T=2(b-a)推论:奇函数y=/(x)满足f(a+x)=f(a-x)oy=/(x)周期T=4a3、y=f(x)有一条对称轴x=a和一个对称中心(Z?,0){h>a)of(x)的T=4(b—a)题型总结一.求.f(Q的解析式.例.设/(Q是定义在(-00,+00)上以2为周期的周期函数，且/(劝是偶函数,在区间［2,3］上，f(x)=-2(x-3)2+4.9(1)求f(1・5)的值(2)求兀w［1,2］时f(x)的解析式.解：(1)(2)当xg[-3,-2],即-兀w[2,3]，/(兀)=f(-x)=-2(-x_3尸+4=-20+3尸+4又/(无)是以2为周期的

5、周期函数，于是当xe[1,2],即-3S-45-2时,有/(%)=/(兀一4)n/(x)=-2[(x_4)+3『+4=-2(x-1)2+4(l

6、；②/(x-y)=/(x)+/(y),求f(3),f(9)的值。解：取兀=2,y=3,得/(6)=/(2)+/(3)因为/⑵/⑹斗所以/⑶^又取*尸3Q

7、#/(9)=/(3)+/(3)=--评析：通过观察已知与未知的联系，巧妙地赋值，取兀=2,丁=3,这样便把已知条件/(2)=1,/(6)=

8、与欲求的f(3)沟通了起来。赋值法是解此类问题的常用技巧。’练习：1.f(x)的定义域为(0,-hx),对任意正实数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y)且f(4)=2,贝叮曲二_(扌)+凹+迪f(3)f(5)牆的值是o2000严⑴+/(2)「严(2”/⑷严(3)+/(6)，严⑷+/(8)/(I)/⑶.f(5)f(7)(加=2笃原式=16)3、对任意整数兀,y函数y=f(x)满足：f(x+y)=/(x)+f(y)+xy+1,若/

9、(1)=1,则/(-8)=CA.-lB.lC.19D.434.(1996年高考题)设/(兀)是(y>,+8)上的奇函数，/(2+兀)=-/(兀)，当0WM1时，f(x)=x9则/(7.5)等于(-0.5)(C)1.5;(D)-1.5.(A)0.5;(B)-0.5;三、奇偶性问题例7.已知函数/(X)(XG/?,兀工0)对任意不等于零的实数坷、兀2都有/(X,•x2)=f(x})+/(x2),试判断函数f(x)的奇偶性。解：取x,=-1,兀2=1得：/(T)=/(T)+/⑴，所以/⑴=0又取x1=x2=-l得：/(!)=/(-!)+/(-!),所以/(