一道课本习题的四个探究片断

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1、万方数据第33卷第7期2014年7月数学教学研究27一道课本习题的四个探究片断范习昱(江苏省镇江市丹徒高级中学212121)原题再现(苏教版选修1—1课本35页一2．．2习题第9题)已知椭圆舞+告=1(口>6>o)的两个焦点分别为F1，F2，短轴的一个端点为P．1)若么F，PF2为直角，求椭圆的离心率；2)若么F1PF2为钝角，求椭圆离心率的取值范围．背景高三一轮复习已经结束，专题复习正如火如荼地进行着．教材不知被我“整理”到哪去了，真的好久没见这位老朋友了．可就在一个晚自习偶尔被学生问起这个题，我顿时

2、惊讶了!课本里还有这么好的资源!而我以前却没引起注意，我为我的肤浅与散漫愧疚不已．于是，我整整花了两天以此题为背景设计了如下的探究式教学案例，并结合教学后的反思进行了适当修改和润色．本题并不算难题，但其中蕴含的知识却很多，具有很好的开发利用价值．让我们开始探究之旅吧⋯⋯探究l如图1，若么F·PF2一口，请给出口与离心率e的关系．生甲：在Rt△POF2中，么0PFz一詈，故湘导=甓=詈～即；彳■<3乡：图lsin导气师：很好．这个结论实际上是本题的一般情况，根据这个结论，我们还可以根据离心率P的范围去求解

3、么FtPF2的范围．如：变式1已知椭圆紊+旁。1(n>6>o)的两个焦点分别为F1，F2，短轴的一个端点为P．1)若椭圆的离心率e∈f专，雩i，求么FlPF2的范围；2)若椭圆的离心率已∈l譬，1)，问是否存在这样的椭圆，使么F1PFz为直角?生乙：1)由sin罟一e，不难求出当日∈[丢，譬]时’饥眠的范围是[詈，孚]；2)当P∈I穹，1)时，么F，PF2的范围是j警，7【l，故么F，PF2不可能为直角．师：你能以此结论说明离心率P大小与椭圆圆扁程度的关系吗?生丙：由sin罟一e，且口∈(o，7c)，知

4、e是关于目的增函数，离心率e越大，日越大，结合图形可知椭圆越扁．师：分析得精彩!你的思想有多远，你就能分析的有多深!我们发现，除了椭圆离心作者简介：范习昱(1980一)，男，湖北洪湖人，中教一级，主要研究方向为高中数学教育教学E-mail：663838327@qq．com万方数据数学敦学研究第33卷第7期2014年7月率能描述椭圆的圆扁程度，其实么FlPF2也可用来描述椭圆的圆扁程度，即么F1PF2越大，椭圆越扁．探究2若点P是椭圆上的任意一点，设么FlPF2一口，请探求椭圆离心率e的范围．师：如果点P

5、不是固定在短轴端点，而是椭。．y夕奄<．疋乡’图2圆上的任意一点，又怎么求椭圆离心率e的范围呢?师：不妨先从特殊情况人手。分析口=90。，60。的情况．生甲(板书)：当毋=90。时，设FlP=辨，F2P=靠，FlF2=2c(c2=口2—62)，由勾股定理知彬+舻=4≯，又由椭圆定义知m+砣=2n．故2删=4口2—4c2≤，舻+，12=4c2，所以n≤压c，c游．结合椭圆离心率e∈(o，1)，则e∈[譬，1)．生乙(板书)：当口=60。时，设F1P=m，F2P=竹，F1F2=2c(c2=口2—62)，在△

6、F1PFz中由余弦定理知4c2=m2+咒2—2彻tcos60。。又由椭圆定义知，，l+竹=趾．故撇=竽≤(字)2=铲，所以1口≤2c，e≥告．结合椭圆离心率e∈(o，1)，则e∈[告，1)．师：如果推广到一般的情形呢?即若么FlPF2=口，请试求椭圆离心率已的范围．教师整理学生讨论后的结果：4c2=仇2+∥一2，，l住cos口，(1)(2)式平方减毒(1)式，得到cos口+1：丝12二鱼．又撇≤(字)2=n2’故c。sm≥等尹-2(1一n即cos畛1—2矿，孑≥￡鼍幽．结合椭圆离心率已∈(o，1)，则e

7、∈悍，·)棚e∈[s哆1)．师：复杂问题从特殊情况人手，这样我们就容易发现一般情况下的解决方法，从而深入问题本质．不过这里还需考虑Fl，P，F2共线而不能构成三角形的情况．师：纵观上述过程，我们通过基本不等式对枷进行了放缩，还有其他方法放缩嬲吗?(视学生情况加以提示：能否从△F1PF2的面积人手呢?)生丙；我知道了，一方面△FtPF2的面积为丢mnsin口，另一方面为丢×FlF2×^，而师：请你上来板书．生丙(板书)：因为s；吾m恕sin口=号×黼sin口≤丢×2c×I如I≤6c，(I如l≤6)所以6s

8、in口／磊而冬c，6tan8≤f，(口2一c2)t姐2要≤c2，矿≥墨划詈．踢意。8洒2号·万方数据第33卷第7期2014年7月数学教学研究29结合椭圆离心率e∈(o，1)，即e∈[Sin导，-)．师：AllRoadsLeadtoRome!换个角度思考问题，无疑让你的思维会更加活跃，让我们一起体会曲径通幽的惊喜吧!师：由探究2我们得到了很多相关的结论．结论1已知Ft，F2是椭圆荸+荸一1(口>6>o)的两个焦点．1)若椭圆上存在点P，使PF