北师大版选修高中数学 第三章 推理与证明 反证法名师点拨.ppt

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1、1．间接证明不是从正面论证命题的真实性，而是通过证明它的等价命题，间接地达到证明的目的，最常见的间接证明是反证法．2．间接论证的应用，有一定困难．因为在间接证明过程中，不得不暂时离开所讨论的论题，引进许多补充的材料(如结论的反面等)，致使全部过程复杂化．但这种方法我们务必学会，因为在学习中，时常会遇到这样的命题，当时并无直接证明它的论据，必须用间接法来证明它的真实性．1．反证法的原理反证法的原理是“否定之否定等于肯定”．反证法的主要依据是逻辑中的排中律．排中律的一般表现形式是：或者是A，或者是非A，即在同一讨论过程中，A和非A有一个且仅有一个是对的．不能有第三种情形出现．2．反证法证题

2、的一般步骤(1)假设：假设所要证明的结论不成立，即假设结论的反面成立；(2)归谬：从假设出发，经过推理论证，得出矛盾，这是反证法的核心，在推理论证的过程中要有意识地制造矛盾和发现矛盾．反证法可以证明的命题范围相当广泛．如：唯一性问题，无限性问题，肯定性问题，否定性问题，存在性问题，不等式问题，等式问题，函数问题，整除问题，几何问题等．常见的基本题型是：(1)一些基本定理；(2)“否定性”命题；(3)“唯一性”命题；(4)“必然性”命题；(5)“至少”、“至多”命题．常见的“结论词”与“反设词”归纳如下：原结论词至少有一个至多有一个至少有n个至多有n个反设词一个也没有(不存在至少有两个)

3、至多有(n－1)个至少有(n＋1)个原结论词只有一个对任意x成立对任意x不成立反设词没有或至少有两个存在某个x不成立存在某个x成立原结论词都是一定是p或qp且q反设词不都是不一定是綈p且綈q綈p或綈q1．如果待证命题的相反判断有多种不同情况，需对各种不同情况一一导出矛盾，加以否定，才能使原判断得到充分肯定．2．有些待证命题的相反判断虽然只有一种情况，但在证明过程中有必要进行分类，首先要求分类必须详尽无遗漏，并且就各类一一导出矛盾．3．有些待证命题的相反判断是断言一个对象在某一范围内恒有某种属性，对此只要我们能够在该范围内举一特例导出矛盾，即可予以否定，从而达到证明的目的．4．用直接法证

4、明几何问题时，所画的图形应力求准确，但反证法恰好相反，我们往往故意画出不正确的甚至不可能存在的图形，才便于探索导出矛盾的途径．5．有些命题在证明过程中，可以连续运用反证法，即反证法中套反证法．◎已知实数p满足不等式(2p＋1)(p＋2)<0，用反证法证明：关于x的方程x2－2x＋5－p2＝0无实根．【错因】利用反证法进行证明时，首先对所要证明的结论进行否定性的假设，并以此为条件进行归谬，得到矛盾，则原命题成立．即反证法必须严格按照“反设→归谬→存真”的步骤进行．错解在解题的过程中并没有用到假设的结论，故不是反证法．