北师大版选修高中数学 第三章 推理与证明 反证法典例导航.ppt

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1、已知：一点A和平面α.求证：经过点A只能有一条直线和平面α垂直．[证明过程]根据点A和平面α的位置关系，分两种情况证明．(1)如图①，点A在平面α内，假设经过点A至少有平面α的两条垂线AB、AC，那么AB、AC是两条相交直线，它们确定一个平面β，平面β和平面α相交于经过点A的一条直线a.图①因为AB⊥平面α，AC⊥平面α，a⊂α，所以AB⊥a，AC⊥a，在平面β内经过点A有两条直线都和直线a垂直，这与平面几何中经过直线上一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾．(2)如图②，点A在平面α外，假设经过点A至少有平面α的两条垂线A

2、B和AC(B、C为垂足)，那么AB、AC是两条相交直线，它们确定一个平面β，平面β和平面α相交于直线BC，因为AB⊥平面α，AC⊥平面α，BC⊂α，所以AB⊥BC，AC⊥BC.图②在平面β内经过点A有两条直线都和BC垂直，这与平面几何中经过直线外一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾．综上，经过一点A只能有平面α的一条垂线．2.求证：过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平行．证明：∵点P在直线外，∴点P和直线a确定一个平面，设该平面为α.在平面α内，过点P作直线b，使得b∥a，则过点P有一条直线与a平行．假设过点P还有一条

3、直线c与a平行．∵a∥b，a∥c，∴b∥c.这与b、c相交于一点P矛盾，故假设不成立，原命题正确．设a，b，c，d∈R，且ad－bc＝1，求证：a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd≠1.由条件不能正面证明结论，采用反证法假设结论不成立，将已知条件代入整理可得出与已知条件矛盾．[证明过程]假设a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd＝1，因为ad－bc＝1，所以a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd＋bc－ad＝0，即(a＋b)2＋(c＋d)2＋(a－d)2＋(b＋c)2＝0，所以a＋b＝0，c＋d＝0，a－d＝0，b＋c＝0，所以a

4、＝b＝c＝d＝0，这与已知条件ad－bc＝1矛盾．故假设不成立，所以a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd≠1.