高中数学第三章推理与证明4反证法课件北师大版.pptx

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1、§4反证法课前预习学案王戎7岁时，与小伙伴们外出游玩，看到路边的李树上结满了果子，小伙伴们纷纷去摘果子，只有王戎站在原地没动．路人不解，王戎回答说：“树在道边而多子，此必苦李．”小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李．王戎是怎样知道李子是苦的呢？提示：如果李子不苦，因为树在道边，那么李子一定会被路人摘吃了，就不会有这么多李子．在证明数学命题时，先_____________________成立，在这个前提下，若推出的结果与______、______、______相矛盾，或与命题中的__________相矛盾，或与______相矛盾，从而说明_____

2、___________不可能成立，由此断定____________成立，这种证明方法叫作反证法．1．反证法假定命题结论的反面定义公理定理已知条件假定命题结论的反面命题的结论反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与_________________________________________等矛盾．2．反证法常见矛盾类型使用反证法应注意的几个问题1．如果待证命题的相反判断有多种不同情况，需对各种不同情况一一导出矛盾，加以否定，才能使原判断得到充分肯定．2．有些待证命题的相反判断虽然只有一种情况，但在证明过程中有必要进行分类，首

3、先要求分类必须详尽无遗漏，并且就各类一一导出矛盾．已知条件、假设、定义、公理、定理、事实3．有些待证命题的相反判断是断言一个对象在某一范围内恒有某种属性，对此只要我们能够在该范围内举一特例导出矛盾，即可予以否定，从而达到证明的目的．4．用直接法证明几何问题时，所画的图形应力求准确，但反证法恰好相反，我们往往故意画出不正确的甚至不可能存在的图形，才便于探索导出矛盾的途径．5．有些命题在证明过程中，可以连续运用反证法，即反证法中套反证法．1．应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用()①结论的否定；②已知条件；③公理、定理、定义等；

4、④原结论．A．①②B．②③C．①②③D．①②④解析：考查反证法的基本思想．答案：C3．用反证法证明命题“x2－(a＋b)x＋ab≠0，则x≠a且x≠b”时应假设为________．解析：否定结论时，一定要全面否定x≠a且x≠b的否定为x＝a或x＝b.答案：x＝a或x＝b4．在不等边△ABC中，A是最小角，求证：A＜60°.证明：假设A≥60°，∵A是不等边三角形ABC的最小角(不妨设C为最大角)，∴B≥A≥60°，C＞A≥60°，∴A＋B＋C＞180°，与三角形内角和等于180°矛盾，∴假设错误，原结论成立，即A＜60°.课堂互动讲义用反证法

5、证明结论中含有“至少”、“至多”、“都”等词语的问题用反证法证明该类问题时，要注意一些常用正面词语的否定形式.正面词语否定正面词语否定等于不等于都是不都是(至少有一个不是)小于不小于(大于或等于)至多有一个至少有两个大于不大于(小于或等于)至少有一个一个也没有是不是已知：一点A和平面α.求证：经过点A只能有一条直线和平面α垂直．[思路导引]用反证法证明“唯一”型命题证明：根据点A和平面α的位置关系，分两种情况证明．(1)如图①，点A在平面α内，假设经过点A至少有平面α的两条垂线AB、AC，那么AB、AC是两条相交直线，它们确定一个平面β，平面

6、β和平面α相交于经过点A的一条直线a.因为AB⊥平面α，AC⊥平面α，a⊂α，所以AB⊥a，AC⊥a，在平面β内经过点A有两条直线都和直线a垂直，这与平面几何中经过直线上一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾．“有且只有”有两层含义：(1)存在(2)唯一，证明存在性时只需找到一个满足题意的条件即可，而唯一性从正面证明很难，所以可以采用反证法反设结论的反面成立推导矛盾，只要找到矛盾即可．2．求证：过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平行．证明：∵点P在直线外，∴点P和直线a确定一个平面，设该平面为α.在平面α内，过点P作直线b，使得b∥a，则过点

7、P有一条直线与a平行．假设过点P还有一条直线c与a平行．∵a∥b，a∥c，∴b∥c.这与b、c相交于一点P矛盾，故假设不成立，原命题正确．(12分)设a，b，c，d∈R，且ad－bc＝1，求证：a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd≠1.[思路导引]由条件不能正面证明结论，采用反证法假设结论不成立，将已知条件代入整理可得出与已知条件矛盾．“否定”型命题否定性命题从正面突破往往比较困难，故用反证法比较多，常见否定词语的否定形式如下表所示：否定词语否定词语的否定形式没有有不大于大于不等于等于不存在存在用反证法证明时，忽略步骤致错已知实数p满足不等式(

8、2p＋1)(p＋2)<0，用反证法证明：关于x的方程x2－2x＋5－p2＝0无实根．【错因】利用反证法进行证明时，首先要对所要证明的结论进行否定性的假设，并以此为条