高三数学解题方法谈：数形结合巧求最值.doc

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1、数形结合巧求最值　　根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，在分析其代数含义的基础上揭示其几何意义，使数量关系和几何图形巧妙和谐地结合起来．充分利用这种结合，从图形中观察寻找解题思路，不失为一种好的策略．请看下面几个巧妙利用图形求最值的例子：　　例1　已知满足不等式组则的最小值为_____．　　解析：，即在可行域中找一点，使它与点的距离的平方最小，由图1可进一步转化为在直线上找一点使它与点的距离的平方最小，即求点到直线的距离的平方．易知，原点为所求点，故．　　例2　若，则的最大值是_____．　　解析：

2、利用线性规划知识求解．设，即直线在轴上截距最大时，取得最大值，最大值即为在轴上的截距．由图2知在轴上的最大截距为，所以的最大值为2．　　例3　已知直线过点，且直线与圆有交点，则直线的最大斜率是_____．　　解析：过点作圆的两条切线，结合图3，不难算出切线斜率分别为、，所以直线的最大斜率是．　　例4　已知向量，，则的最大值是_____．　　解析：如图4，设，，由向量减法及模的几何意义可知，点在以为圆心，1为半径的圆上．由图可知，当点在位置时取得最大值，此时．　　例5　（2004年湖南·文科）已知向量，，

3、则的最大值、最小值分别是（　　）．　　（Ａ）　（Ｂ）　　（Ｃ）　　　　（Ｄ）　　解析：由已知得，向量所表示的点为圆上的动点，表示点到圆上点的距离．因为向量表示的点也在圆上（如图5），由图易知，的最大值为4，最小值为0，故选（D）．　　例6　在中，为中线上一个动点，若，则的最小值是_____．　　解析：构造图形．如图6，以线段、为邻边构造，则点是其对角线的交点，有，又向量，反向，故．而，由均值不等式，有，当且仅当，即为的中点时取等号．故所求最小值是．