利用数形结合思想求最值.doc李翻红

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1、利用数形结合思想求最值商州区夜村中学 李翻红【摘要】:在中学阶段,数形结合思想的应用十分广泛,它作为一种重要的数学思想方法,能很好地把各部分内容联系起来,并贯穿于中学数学的整体思路中.因此在求最值问题时,采用数形结合思想的方法,由形.思数,由数想形,把代数式的精确刻划与几何图形的直观描述有机地结合起来,有利于开阔学生的解题思路,发展其形象思维能力培养学生的逻辑思维,提高学生的解题能力.【关键词】: 数形结合 最值问题 数形结合是一种重要的数学思想方法,其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来,即将代数问题几何化,运用图形的几何性质

2、来解决,或将几何问题代数化,运用代数特征进行运算解决,其方法是以形助数,以数助形,数形渗透,相互作用。其目的是将复杂问题简单化,隐蔽的问题明朗化,抽象的问题直观化,以便迅速、简捷、合理地解决问题,因此求最值问题时运用数形结合思想不仅直观、易发现解题途径,而且能避免复杂的计算与推理,大大简化了解题过程。所以要注意培养这种思想意识,要争取胸中有图,见数想图,以开拓自己的思维视野。下面仅举几例说明:一、利用两点间距离公式求最值问题。在一些等式或代数式的题目中,其结构含有明显的几何意义,如含有根号的不等式、代数式,都有明显的几何意义,若能运用

3、数形结合的思想方法,利用两点间距离公式,可以很快解决问题。例如:例1、求函数y=的最小值.分析:考察式子特点,从代数的角度求解,学生的思维受阻,这时利用数形结合为转化手段,引导学生探索函数背后的几何背景,巧用两点间距离公式,可化为=令A(0,1),B(2,2),P(x,0),则问题转化为在X轴上求一点P,使|PA|+|PB|有最小值.如图1,由于AB在X轴同侧,故取A关于X轴的对称点,图1故(|PA|+|PB|)min=二、利用换元法解决含有根号的函数的最值问题。在一些含有根号的代数式的题目中,其结构没有明显的几何意义,此时利用两点间

4、距离公式可能做不出来,若能利用换元法,运用数形结合的思想方法,也可以很快解决问题,例如:例2、分析:由于函数右端根号内t同为t的一次式,若只做简单换元无法转化出一元二次函数求最值;倘若对式子平方处理,将会把问题复杂化,因此该题用常规解法显得比较困难,考虑到上面函数右边有两个根号,故可采用两步换元:,第一象限的部分(包括端点)有公共点,(如图2)相切于第一象限时,u取最大值三、利用复数的模的几何意义求复数的模的最值。在求解一些关于复数的题目中,经常利用复数的模的几何意义来求解,如:表示复数z对应的点Z到原点O的距离;表示复数z和对应的点

5、Z和两点的距离;=1表示单位圆=表示复数和两点的连线的垂直平分线。在关于复数的题目中,若能利用复数的模的几何意义来求解,可以达到意想不到的效果,例如:例3、已知复数z满足,求z的模的最大值、最小值。分析:由于=,有明显的几何意义,它表示复数z对应的点到复数对应的点之间的距离,因此满足的复数z对应的点Z,在以(2,2)为圆心,半径为的圆上(图3),而表示复数z对应的点Z到原点O的距离,显然,当点Z、圆心C、点O三点共线时,取得最值,∴复数z的模的最大值为,最小值为。四、利用斜率公式求函数的值域在一些分子、分母都是三角函数或一次函数的代数

6、式中,要求其值域,很多都转化为经过两点的直线的来求解,例如:例4、分析:很明显,函数(图4),,五、利用及线性规划求值域例5、已知点P(,y)在线性区域内,求(1)U=(2)V=的值域图5分析:由线性规划可知P(,y)在直角OAB内(包括边界),实质上是点M(4,3)到直线AB的距离;V的值域实质上是直线PM斜率的取值范围(图5)。从上面所举的例子中,可以看出:数形结合思想是“数”与“形”结合,相互渗透,把代数式的精确刻画与几何图形的直观描述相结合,使代数问题、几何问题相互转化,使抽象思维和形象思维有机结合;应用数形结合思想,就是要充

7、分考查数学问题的条件和结论之间的内在联系,既分析其代数意义又揭示其几何意义,将数量关系和空间形式巧妙结合,来寻找解题思路,使问题得到解决。

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