丰富的内涵简单的背景——2012年福建高考理科数学第19题的本质探究.pdf

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1、·18·中学数学研究2014年第1期为教师，不光要善于倾听、小心呵护，更要有一双慧眼，去发现其背后潜在的价值，再通过多视角的思考、巧妙的设计与安排，让学生去经历一番有意义的探索之旅．其实，在这个探究过程中，我们大可不必过多关注能获得多少“结论性”的成果，重要的是：让学生能从中领悟到提出问题、思考问题的方法与策略．当然，就教师而言，要组织有效的探究活动，不仅需要更专业、更广博的知识，还需要有一定的数学研究经验．面对纷繁复杂的问题，能够敏锐洞察各种信息，精简学生的思维，判断并指明正确方向．因此，数学教师要积极开展数学研究工作，不断提升自身的综合素养．参考文献[1]吴文

2、广．椭圆内接多边形面积最大值的实验研究[J]．数学教学，2013，7．[2]阮伟强．一堂以高考题为载体的竞赛辅导课[J]．中学数学教学参考(上旬)，2012，4．1P．'r—r●广1—Y—r—r1一_1—丫—r1广1—_r—丫—r’r1—’r—丫—r．’r1—’r—丫—r1—’『—r—r1—'r—r’r1’'r—r]●1—-r—丫—r1—'r—丫’丰富的内涵简单的背景——2012年福建高考理科数学第19题的本质探究江苏省东台市安丰中学(224221)崔晓丽每年由各省市自主命题和全国统一命题的各份高考数学试卷，都是一份宝贵的资源，许多考题有丰富的内涵，它们立意新颖，

3、角度独特，彰显着数学永恒的魅力，为我们学习研究提供了广阔的平台．笔者对2012年福建高考数学理科第19题做了一些思考，发现了不少结论，然而却源于一个我们都熟知的背景，现整理成文，与读者交流．1试题简析(2012福建高考)如图l，椭圆E：与+告=l(口>b>U‘，0)的左焦点F。，右焦点F2，离1心率e=÷，过F1的直线交y移杰．砧，／一F：／i／图1椭圆于A、B两点，且／kABF2的周长为8．(1)求椭圆E的方程；(2)设动直线／：y=玩+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线茗=4相交于点Q．试探究：在该坐标平面内，是否存在定点M，使以PO为直径的圆恒过定点肘

4、?若存在，求出点肘的坐标；若不存在，说明理由．．．2评析：由条件容易求得椭圆层：等+}=1．在．tJ第(2)问中，“以PQ为直径的圆恒过定点肘”即蹦上QM，而直线戈=4恰为椭圆E的右准线．显然，问题的探究是性质的逆向思考，通过对称性分析，可以预见定点肘是椭圆的右焦点凡(1，0)．试题没有直接要求考生证明PF2上Q疋，而以开放题型呈现，要求考生探究定点膨的存在性，突出考查了考生的探究能力．当然，进一步挖掘问题，也考应着我们教师在探究转化与归纳性质等方面的研题能力．2试题的结论性探究2．1初步归纳2高考题探究的是具体椭圆E：睾+}=1下的‘tJ结论，这一结论对于一般情

5、况下椭圆!≥+去=1(口U‘，>b>O)是否成立呢?通过论证，发现：结论1已知椭圆c：≥+告=l(n>b>o)UI，的右焦点为F，直线PQ与椭圆C相切于点P，且与椭一2圆的右准线茹=÷相交于点Q，求证：PF上QF让明：如图2，设P(戈o，to)，则直线PQ：等+Y百oY=，令菇=寺21，得Y口=等(1一，令菇=生，得D=笠(1一C。％导)，．．．Q(一2，壁(1一鱼))，，Y·乃’彳《≮弋F，／图2·．·．F—P：(髫。-c’，F—Q：(譬一c，堡(1-Xo)yo))，。·‘·=(矿c，，=(寺一c，寺‘1。c)，2014年第1期中学数学研究·19·．·．F牙P·

6、F—Q=(粕一c)·半2c2+62(1-警)=(‰一c)．堡+6：．竿：o’．．．P儿QF．C再看结论I的逆命题：‘结论2已知椭圆c：≥+》=l(口>6>o)的右焦点为F，直线PQ交椭圆c的右准线石=警于点Q，点P在椭圆C上，且满足PF上QF，求证：直线PQ与椭圆C相切于点P证明：如图2，设P(‰，yo)，Q(寺，^)，当％=0时，在右准线上不存在点Q满足PF上QF，故Yo≠o’．．．F—P：(知-c’儿)，而：(专2-c’矗)’．．．F—P．F—Q=譬(‰一c)+‰=。’．．．Jl=瓦．b2(c一砧’．．．‰^一％箦㈦¨一％等∽等等，譬一茗。寺2一茗。口2(÷一

7、≥)了一茗。口‘(了一了)‰(丢一÷一蕞)‰÷+惫2一去口2％(÷一≥)口2儿了1一≯Xo’又≥2+擎2=-，．．．≥2=-一吾，．．．后舶=一凳·⋯11(1一!垫l石oC口21省；262茹。了一石’了b2x。62茹oc戈。口2o一瓦2。——一无21X0Yo’口％口了一了而椭圆C在点P(xo，yo)处的切线斜率正是L2Ⅳ一之塑，所以直线PQ与椭圆c相切于点P．口Yo到这里，自然联想到结论l与结论2对双曲线和抛物线是否成立?于是又产生了结论3，限于篇幅，本文不作证明．结论3已知圆锥曲线C的一个焦点为F，焦点F对应的准线为2，直线PQ交准线2于点Q，点P在圆锥曲线C上

8、，求证：P