高等数学背景下的高考命题探究_2_省略_12年全国数学高考理科卷第22题_杨思源

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1、·24·中学教研(数学)2013年高等数学背景下的高考命题探究———2012年全国数学高考理科卷第22题●杨思源(嘉定区第一中学上海201808)2题目设函数f(x)=x－2x－3，定义数列种情况呢?{xn}如下:x1=2，xn+1是过点P(4，5)，Qn(xn，容易看出，在情况(1)中，a在曲线y=f(x)凹f(xn))的直线PQn与x轴交点的横坐标．面的一侧，此时f(a)与f″(x)异号;而情况(2)是b(1)证明:2≤xn＜xn+1＜3;在曲线凹面的一侧，此时f(b)与f″(x)异号．无论(2)求数列{xn

2、}的通项公式．哪种情况，都是取f(x)的函数值与f″(x)异号的那评析本题考查运用数学归纳法论证递推数个端点作为0次近似值．下面找出递推规律．列{xn}的单调性，并求递推数列的通项公式;考查(1)当f(a)与f″(x)异号时，直线AB的两点考生的推理论证能力和利用递推关系式与待定系式方程为数法探求数学通项公式的能力．本题背景深刻，立f(b)－f(a)y－f(a)=(x－a)．意高远，它是高等数学背景下的一道居高临下、深b－a入浅出的高考试题．它的背景源于高等数学中用插令y=0，可得弦AB与x轴交点b1的坐标值法求

3、方程近似解，其原理如下:b=a－f(a)(b－a)，1f(b)－f(a)假定实系数多项式f(x)=0在区间［a，b］有f(b1)唯一的根ξ，且f'(x)=0和f″(x)=0在［a，b］内同理b2=b1－(b－b1)，f(b2)－f(b1)无根，即各自保持符号不变．联结曲线y=f(x)的2…个点A(a，f(a))与B(b，f(b))，设弦AB与x轴交一般地，有点为b1(其坐标也可记为b1，下同)，b1作为根ξ的f(bn－1)一次近似值．为了求出更接近的近似值，需分2种bn=bn－1－(b－bn－1)．(1)f(bn

4、)－f(bn－1)情况进行讨论．(2)当f(b)与f″(x)异号时，类似地可求得(1)f(b1)与f(b)异号，如图1所示．f(b)联结弦B1B，交x轴于b2，b2为ξ的二次近似b1=b－f(b)－f(a)(b－a)，值，依次进行下去，可得ξ的一系列近似值．这时，f(b1)取a作为0次近似值．b2=b1－(b1－a)，f(b2)－f(b1)…一般地，有f(bn－1)bn=bn－1－(bn－1－a)．(2)f(bn)－f(bn－1)在上述2种情况下，序列a(或b)，b1，b2，…，都是从曲线的凹面单调地收敛于根ξ．

5、在这个原理的背景下，命题者选择了简单的函数f(x)=图1图22x－2x－3，其零点为－1和3．(2)f(b1)与f(a)异号，如图2所示．2如图3，函数f(x)=x－2x－3联结弦AB1，交x轴于b2，b2为ξ的二次近似值，同情况(1)，依次可得ξ的一系列近似值．不在区间［2，4］上连续，f'(x)=过，这时应取b作为ξ的0次近似值．2x－2＞0，f″(x)=2＞0，且那么，从f(x)及f″(x)的符号上如何区分这2f(2)=－3＜0，f(4)=5＞0．图3第1期杨思源:高等数学背景下的高考命题探究·25·此题满

6、足原理中的第1种情况，即xn－3xn+1－3=;(3)f(2)=－3＜0，f″(x)＞0．xn+2若取x1=2，则第n+1次根的近似值满足递推关系5(xn+1)xn+1=．(4)xn+2f(xn)(4－xn)xn+1=xn－5－f(x)=式(3)与式(4)相除，得n(x2－2x－3)(4－x)4x+3xn+1－31xn－3nnn=·，(5)xn－5－(x2－2x－3)=x+2，xn+15xn+1nnnxn－314xn+3从而可知数列{}是等比数列，首项为－，公即xn+1=．xn+13xn+21由原理知，满足此种情

7、况的数列{xn}:2≤xn＜比为，因此有5xn+1＜3．x－3n－1n11这样第(1)小题便解决了．x+1=－3·(5)，n当然，此题也可用初等数学的方法作如下解故数列{xn}的通项公式为答:4xn=3－n－1．过点Q1(2，f(2))和点P(4，5)作一直线PQ1:1+3·5f(2)－5利用函数的不动点求分式线性递推数列的通y－5=(x－4)，2－4项公式，也是借助于高等数学中的线性微分方程的11与x轴相交于点x=x2，即x2=．特征根法而得到的一种方法，其原理说明如下:4αan+β由2≤x1＜x2＜3，进而在

8、(x2，4)上运用插值法已知a1及an+1=a+γ(其中α，β，γ为常数，n可得且αγ≠β)，求{an}的通项．(x2－4)·555解引入待定参数λ，使x3=4－=4－＜4－=3;f(x2)－5x2+23+2αan+β(α－γ)an+β－λγ由2≤x1＜x2＜x3＜3可得an+1－λ=a+γ－λ=a+γ=nnx=4－(x3－4)·5=4－5＜4－5=3;α－λλγ－β4f