高等数学背景下的高考数学命题

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1、万方数据上海中学数学·2008年第5期高等数学背景下的高考数学命题226200江苏省启东中学李东月234300安徽省泗县草沟中学张亚在近年来的高考命题的改革中，为了考查学生的学习潜能，对学生思维的抽象性、逻辑性以及学生的理解力和自学能力提出了更高的要求，以高等数学为背景的数学思想和知识已渗透到高考命题当中．本文对以高等数学为背景的高考信息题进行分类题析，仅供参考．一、以高等数学中的符号、记号、概念等为背景命题的例1(2007年福建高考题)中学数学中存在许多关系，比如“相等关系”、“平行关系”等等．如果集合A中元素之间的一个上关系“∽”满足以下三个条件：(1)白反性：对于任意a∈

2、A，都有a∽a}．(2)对称性：对于a，b∈A，若a∽b，则有b∽a：(3)传递性：对于a，6，c∈A，若a∽6，b∽c，则有a∽c．则称“GO”是集合A的一个等价关系．例如：“数的相等”是等价关系，而“直线的平行”不是等价关系(自反性不成立)．请你再列出三个等价关系：——．解析：本题是考查高等数学中对数学关系的理解，是一道开放性问题，答案不唯一，如“图形的全等”、“图形的相似”、“非零向量的共线”、“命题的等价”等等．解答此类题首先要读懂所给符号、概念等的实质性含义及题目的规则和要求，运用已有的知识把所给的新概念、符号等简单化、具体化与特殊化加以分析探究．其它还有以有界函数、

3、闭函数、单峰函数、取整函数、符号函数等概念或符号为背景命题的．二、以高等数学中函数的性质、定理等为背景命题的例2(2004年广东高考题)设函数，(z)一z—ln(x+研)，其中常数m为整数．(1)当m为何值时，，(z)>0；(2)定理：若函数g(z)在[n，6]上连续，且g(口)与g(6)异号，则至少存在一点XO∈(口，6)。使g(xo)=0．试用上述定理证明：当整数m>1时，方程，(z)一0，在[rm，e2m一仇]内有两个实根．解析：该命题即为根的存在性定理为背景命题的．第(I)问主要考查求导问题，相对较为简单．(Ⅱ)证明：由(I)知，当整数m>1时，厂(1一优)一1一m<0

4、，函数，(z)一z—ln(x+m)在[厂m—m，1一优]上为连续减函数，(rm一优)=rm一仇一ln(旷m一仇+优)一P--m>0，当整数m>1时，(厂m一优)与，(1一m)异号．由所给定理知，存在唯一的z1∈(rm—m，1一优)使厂(工1)一0，而当整数研>1时，f(eTM—m)一e2m一3m>(1+1)2m一3m>1+2m+墅丛等I二坐一3m>0．类似地，当整数m>1厶时，函数，(z)=z—ln(x+优)，在[1一优，旷m一研]上为连续增函数且，(1一m)与f(e2m—m)异号，由所给定理知，存在唯一的z2∈[1一优，rm—m]，使f(xz)一0故当优>1时，方程，(z)一

5、。在[e-m一优，e2m—m3内有两个实根．对新定理的理解和运用就是解决本类题型的关键，其它还有以区间套定理、价值性定理、零点定理、函数的一致性定理等为背景命题的．三、以抽象的代数运算为背景命题的例3(2005年辽宁高考题)在R上定义运算o：zOY—z(1一y)．若不等式(x--4)0(z+口)<1对任意实数z成立，则()A．一1

6、o。，1·10百1]，所以寺<一口2+n+1，即一虿1<口<号，答案选C．这种题型解答时要先准确把握所给信息本质，然后应用类比等方法充分挖掘其内涵，运用新旧知识间的内在联系及迁移规律，将新万方数据30上海中学数学·2008年第5期运算转化为熟悉的数学运算．四、以《线性代数》的知识为背景命题的例4(2004年北京春季高考题)下表给出一个“等差数阵”47()()()口lJ712()()()a2j()()()()()aaj()()()()()口U口jl口12口订allai5ao其中每行、每列都是等差数列，口“表示位于第i行第J列的数．(I)写出a45的值；(II)写出口。的计算公式；

7、(Ⅲ)证明：正整数N在该等差数列中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积．。解析：本题是以矩阵的表示为背景命题的，主要考查等差数列、充要条件等基本知识，考查逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力．(I)a45·=49；(Ⅱ)该等差数阵的第一行是首项为4，公差为3的等差数列：alj=4+3(j一1)，第二行是首项为7，公差为5的等差数列：a2j一7+5(J一1)⋯⋯，第i行是首项为4+3(f—1)，公差为2i+1的等差数列，因此ao=4+3(i一1)+(2i+1)(．f一1)=2