高等数学背景下的高考数学试题分析

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1、高等数学背景下的高考数学试题分析　　摘要：关注研究高考数学中的高等数学背景试题，对高三数学复习教学具有重要的意义，因此，探讨并提出了一些教学思路与方法，期望为同行提供可行的参考。　　关键词：高等数学；基本概念；高考试题　　实施高中新课程以来，初中数学与高等数学的联系越来越紧密，高考试题中经常出现以高等数学知识为背景的命题。这种试题起点高落点低，试题的设计来源于高等数学，但解决的方法是中学所学的初等数学知识，具有很强的研究性和探究性，对学生的创新意识有很好的检测功能，下面就举一些具有高等数学背景的高考试题来分析与探讨，揭示解题方法，起到抛砖引玉的作用。　　一、以群、环、域的概念为背景的高

2、考试题　　群、环、域是近似代数中的基本知识，近年来的高考数学中以群、环、域的概念为背景的高考试题已开始出现，其考查内容并不超越高中数学教学大纲，但应用到了高等数学中的群、环、域概念。如：　　例1.（2011年广东卷8）设S是整数集S的非空子集，如果？坌a，b∈S，则称S关于数的乘法是封闭的，若T，V是Z的两个不相交的非空子集，T∪V且？坌a，b，c∈T有abc∈T，？坌x，y，z∈V，有xyz∈V则下列结论恒成立的是（）　　A.T，V中至少有一个关于乘法是封闭　　B.T，V中至多有一个关于乘法是封闭　　C.T，V中有且只有一个关于乘法是封闭　　D.T，V中每一个关于乘法是封闭　　“封闭

3、”是大学近似代数中的内容，以此出题，旨在考查考生接受和处理新信息的能力。作为新定义问题，如能准确理解定义，难度并不大，但容易考虑不全。因此在充分理解题目的含义之后，需全面深入地分析，方能准确地得出结果。　　二、以凹凸函数概念为背景编制的高考试题　　新课程改革下的高中数学教学，强调培养学生自主创新能力和自主探究能力，因而近年来许多高考数学题目强化了对学生学习能力和创新能力的考查。如：　　例2.（2012年福建卷10）函数f（x）在[a，b]上有定义，若对任意x1，x2∈[a，b]，有f（■）≤■[f（x1）+f（x2）]则称f（x）在[a，b]上具有性质P。设f（x）在[1，3]上具有性

4、质P，现给出如下命题　　①f（x）在[1，3]上的图象是连续不断的；②f（x2）在[1，■]上具有性质P；③若f（x）在x=2处取得最大值1，则f（x）=1，x∈[1，3]；④对任意x1，x2，x3，x4∈[1，3]有f（■）≤■[f（x1）+　　f（x2）+f（x3）+f（x4）]其中真命题的序号是（）　　A.①②B.①③　　C.②④D.③④　　这道题是以高等数学中的《数学分析》中凹、凸函数的定义为背景编制的高考试题。函数凹凸性问题是近几年高考中的一种新题型。这种题形式新颖、背景公平，能考查学生的创新能力和潜在的数学素质，体现“高考命题范围遵循教学大纲，又不拘泥于教学大纲”的改革精神

5、。但由于函数曲线的凹凸性在中学教材中既没有明确的定义，又没有专门研究，因此，就多数学生而言对这类凹凸性曲线问题往往束手无策；而教师的“二阶导数”理解又不能被学生所接受。所以，对这类非常规性问题作一探索，并引导学生去得到一般性的解法，无疑对学生数学素质的提高和创新精神的培养以及在迅速准确解答高考中出现此类的试题都是十分重要的。凹凸函数定义（根据同济大学数学教研室主编《高等数学》第201页）：设函数f（x）为定义在区间I上的函数，若对（a，b）上任意两点x1，x2，恒有：　　f（■）<■，则称f（x）为（a，b）上的凹函数；反之，则称f（x）为（a，b）上的凸函数。　　三、以高等数学中的基

6、本概念为背景编制的高考试题　　高等数学中的许多基本概念与高中数学课程有着紧密的联系，其中的许多内容是高中数学知识的延续，因而设置高等数学基本概念为背景的高考数学试题，能够有效考查学生掌握知识的深度和灵活度，如：　　例3.（2013年福建卷10）设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数满足；　　（i）T={f（x）

7、x∈S}；（ii）对任意的x1，x2∈S，当x1

8、相　　同。对于一般的，有下面这些结论成立：①[a，b]，（a，b]，（a，b）等实数区间于R基数相同；②N，Q，Z，N+的基数相同。　　但是N与R，（a，b）等的基数就不相同，你可以形象化地理解为一个离散，而一个连续，对于应付往后的类似高考题已经足够。　　以高等数学知识为背景的试题多次现身于高考之中，这种高等数学与初等数学“上连下靠”型的试题将是考查学生学习潜能的重要阵地。高等数学背景的高考试题对于考生来说是前言的尖端课题，也是高考的新动向。我