2013年福建省质检数学卷第19题的探究与推广-论文.pdf

《2013年福建省质检数学卷第19题的探究与推广-论文.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、嘲2013年福建省质检数学卷第19题的罗源县第一中学张贵根引言解析几何是高中数学的重要组成部分，是学习演绎推理的重要素材，这就必然地使解析几何成性质1椭圆E：等+=1(。>6>0)的左、右顶点分为重大考试不可或缺的考查内容之一。从学生的认知别为A、A：，助椭圆E上异于A。、A的点，直线A。P、A规律来看。对抽象事物本质的认识不可能一步到位、一分别交直线l：x=t(t为常数)于不同两点M、N，点Q在直蹴而就，应由浅入深、由表及里，正反对比，方能凸现本线上，则点Q为线段V中点的充要条件是直线PQ为椭质。圆E的切线。

2、而一道好的解析几何试题不应只是一束礼花，只追求绽放时瞬间的美丽，而应该是一壶老酒，通过慢慢证明(充分性)设P(。'y0)≠4-2)，则+=1旷b品味感悟其中的真谛。2013年福建省普通高中毕业班由x2+：1b，两边对求导得鸳+一：0，即y，质量检查卷中的第19题就是一道好题，可谓是：考题如。a-扩此多娇，风光本题独好!一题目(2013年福建省普通高中毕业班质量检查)有椭圆E在P()处切线斜率为r切线一鱼椭圆E：+{；=1(口>6>0)的左、右焦点分别为、，a-~'Oa-D一左、右顶点分别为A、A：，T(1，妻)

3、为椭圆上一点，且则切线PQ：y庐一t’0)Py=一b：'x。时篑■，TF2垂直于轴。由等(I)求椭圆E的方程；(Ⅱ)给出命题：“已知P为椭圆E上异于A。、A：的一又：y=+口)：y=点，直线A。P、A分别交直线：(t为常数)于不同两点、Ⅳ，点Q在直线Z上，若直线PQ与椭圆E有且只有一则(t，)Ⅳ(￡，)个公共点P，则Q为线~MNdP点”，写出此命题的逆命yc(t+a)．+．r,~t-a)．题，判断你所写出的命题的真假，并加以证明。．设删V中点为r(-'yj)则l=，yl=旦=分析此题结构简洁，内涵丰富，由条件得

4、出的结ro(txo-a9．论非常有趣!由已知，可得椭圆E：+等=1，此命题的1’斗逆命题为真命题，即无论t为何常数，若点Q为线段MN扣枷中点，则直线P。均与椭圆E相切。笔者不禁想，原命题的真假呢?通过论证，笔者发现也是真命题。综上有：椭即，垒)，显示，与Q重合圆E：+=1的左、右顶点分别为A、A，P为椭圆E上ay~'oqj故若直线尸Q为椭圆E的切线，则Q为线段删中点。异于。、A：的点，直线A。P、A鼢别交直线l：x=t(￡为常(必要性)因为，P：y=j(+n)：)，=j—数)于不同两点、Ⅳ，点Q在直OAl_i：

5、，则点Q为线段MN‘。xo+aa中点的充要条件是直线为椭圆E的切线。则M(￡。地：)，Ⅳ(t，：)这是偶然的巧合吗?为此笔者进行了一般化的探索。是不是所有椭圆都有上述结论?下面以性质形式陈有线悯()川．嘲谈“K’’字形相似三角形的应用惠安科山中学连培建曾江准相似作为一种图形变换，是中考命题的重要内容，这一图形像字母“K”，有时还作为综合性较强的试题，侧重考查学生综合应我们不妨把它称之为用知识解决问题的能力，而这些问题的解决总是以一“K”字形。些基本图形为基础的。《义务教育数学课程标准(2o11例1(2o13成都

6、)年版)》明确要求，“学生能从较复杂的图形中分解出基如图2，点历生线段AC图1JPC本的图形，并能分析其中的基本元素及其关系，利用直上，点D，E在AC观图形来进行思考”。笔者认为引导学生从复杂图形中同侧，A=C=分解出基本图形，对于提高学生的几何解题能力有直90。，BD上BE，接的促进作用。相似三角形有“A”、“x”、“K”字形等基AD=BC．D本图形，本文以“K”字形为例。(1)求证：如图1，B、P、c三点在同一直线上，AB上BC于B，AC=AD+CE：DC上BC于C，(1)当LAPD=90~时，易证△ABP

7、v,(2)若AD=3。AAPCD；(2)当厶4PB=LDPC时，易证AABP,~△DcP。CE=5，点助线段b'-(a~-xot)质，但只局限于实轴上两顶点，不能为虚轴上两顶点。则‰产二—_垒五—二—：=章；-旦一皇。‘0X-Xo／ayoa'yo性质3双曲线E：一=1(a>O，b>0)的左、右顶O。又由+：1两边对的求导可得+理I：0，点分别为A。、A：，户为椭圆E上异于A。、A：的点，直线。P、0一Ⅱ．200A分别交直线Z：x=t(t为常数)于不同两点、

8、7、r，点Q在即’，f_一a'yo直线址：，则点Q为线

9、段删中点的充要条件是直线即为双曲线E的切线r此切线不与双曲线的渐近线平行)。即椭圆脏(y0)处切线斜率一皇，有，口=切口7o性质2、3的证明类似于性质1，此处略去。以上性质故当Q为线段v中点时直线P()与椭圆E相切。中曲线若焦点在摘自上，命题仍成立，此不再详述。由上证明可知，只要J4。、A：为椭圆长轴两个顶点，椭圆和双曲线的统一性质还有很多，在圆锥曲线的直线z为垂直于椭圆长轴所在坐标轴