09年北京市高考数学卷第19题探究.doc

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1、09年北京市高考数学卷第19题探究南京市金陵中学宋辉210005摘要：本文探究2009年北京市高考数学卷第19题的一般结论，及一般结论的逆定理，并将其结论类比到椭圆中，得到相应的结论及几个有趣的推论.关键词：定值；类比；双曲线；椭圆；切线2009年全国高考北京市高考数学卷第19题已知双曲线C：－＝1（a>0，b>0）的离心率为，右准线方程为x＝.（1）求双曲线C的方程；（2）设直线l是圆O：x2＋y2＝2上的动点P（x0，y0）（x0y0≠0）处的切线，l与双曲线C交于不同的两点A、B，求证∠AOB的大小是定值.略解（1）双曲线C：x2－＝1；（2）∠AOB的大小是定值且为90°.本文

2、探究该问题的一般结论：定理1设双曲线C：－＝1（b>a>0），直线l是圆O：x2＋y2＝上的动点P（x0，y0）（x0y0≠0）处的切线，l与双曲线C交于不同的两点A、B，则∠AOB的大小是定值且为90°.证明设A（x1，y1）、B（x2，y2），令r2＝.cos∠AOB＝.过切点P（x0，y0）的切线l的方程为x0x＋y0y＝r2，且x＋y＝r2.联立方程组：消去y得（b2y－a2x）x2＋2a2r2x0x－a2r4－a2b2y＝0.Δ>0，x1＋x2＝－，x1x2＝.y1y2＝.x1x2＋y1y2＝＋＝＝.由r2＝，得x1x2＋y1y2＝0.故cos∠AOB＝0，即∠AOB＝90°

3、.显然北京市高考数学卷第19题是定理1的特殊情况.将以上结论类比到椭圆有以下结论：3定理2设椭圆C：＋＝1（a>b>0），直线l是圆O：x2＋y2＝上的动点P（x0，y0）（x0y0≠0）处的切线，直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，则∠AOB的大小是定值且为90°.证明设A（x1，y1）、B（x2，y2），令r2＝.cos∠AOB＝.过切点P（x0，y0）的切线l的方程为：x0x＋y0y＝r2，且x＋y＝r2.联立方程组：消去y得（b2y＋a2x）x2－2a2r2x0x＋a2r4－a2b2y＝0.Δ>0，x1＋x2＝，x1x2＝.y1y2＝.x1x2＋y1y2＝＋＝＝.由r2＝，得x

4、1x2＋y1y2＝0.故cos∠AOB＝0，即∠AOB＝90°.定理3设椭圆C：＋＝1（a>b>0），若动直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，且∠AOB＝90°，则存在定圆O：x2＋y2＝与直线l相切.证明设直线l：y＝mx＋n，A（x1，y1）、B（x2，y2）.联立方程组：消去y得（b2＋a2m2）x2＋2mna2x＋a2n2－a2b2＝0.x1＋x2＝－，x1x2＝.y1y2＝m2x1x2＋mn（x1＋x2）＋n2.由∠AOB＝90°，得x1x2＋y1y2＝0，即（1＋m2）－mn＋n2＝0.化简得（a2＋b2）n2＝a2b2（1＋m2），即＝，若存在圆x2＋y2＝r2与直线l：

5、y＝mx＋n相切，则圆心（0，0）到直线l的距离d＝.3故存在定圆O：x2＋y2＝与直线l相切.推论1设椭圆C：＋＝1（a>b>0），若动直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，且∠AOB＝90°，则原点到动直线l的距离为定值.证明略.定理4设双曲线C：－＝1（(b>a>0），若动直线l与双曲线C交于不同的两点A、B，且∠AOB＝90°，则存在定圆O：x2＋y2＝与直线l相切.证明设直线l：y＝mx＋n，A（x1，y1）、B（x2，y2）.联立方程组：消去y得（b2－a2m2）x2－2mna2x－a2n2－a2b2＝0.x1＋x2＝，x1x2＝.y1y2＝m2x1x2＋mn（x1＋x2）＋

6、n2.由∠AOB＝90°，得x1x2＋y1y2＝0，即（1＋m2）＋mn＋n2＝0.化简得（b2－a2）n2＝a2b2（1＋m2），即＝，若存在圆x2＋y2＝r2与直线l：y＝mx＋n相切，则圆心（0，0）到直线l的距离d＝.故存在定圆O：x2＋y2＝与直线l相切.推论2设双曲线C：－＝1（(b>a>0），若动直线l与双曲线C交于不同的两点A、B，且∠AOB＝90°，则原点到动直线l的距离为定值.证明略.通讯地址南京市金陵中学E－mailsonghuijln666@126.com邮编210005电话137051960863