2012年江苏卷第19题的解法赏析与推广

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1、·辅教导学·数学通讯——2O12年第9期(上半月)52012年江苏卷第19题的解法赏析与推广(江苏省海门中学，226100)孙潘徐印(江苏省苏州市吴县中学，215000)秀爱琴芸明勇红(江苏省江浦高级中学，211800)(江苏省板浦高级中学，222241)狳编者按：孙芸、潘秀明、徐爱勇、印舀琴为红和徐勇z一1(过程略)，显然口一，6一c一1，P一．等老师分别来稿对2012年江苏卷第19题进行了研究，4篇稿件各有特色，但内容存在重复之处，故下面重点介绍第(2)问的解法及推广．将4篇稿件合并修改成一篇文章刊出，特此说明．1．第(i)问的解法赏析这是一个求值问题，

2、可运用方程思想求解．每年的高考试题都集中体现了高考命题专家思路1设直线AF的斜率为k，写出直线的智慧，具有很强的代表性和示范性，对高考试题AF和BF：的方程，分别与椭圆方程联立，求出A进行解法赏析与推广探究，有助于历练思维，提升点和B点的坐标(用是表示)，再求出AF和BF：，能力，2012年高考江苏卷压轴题(第19题)就是一个典型案例．结合条件AF。一BF。一得到关于忌的方程，求题目如图1，在平面直角坐标系xOy中，椭解即可．圆+=1(口>b>o)的左、右焦点分别为口0。解法1因为AF1≠BF2，所以直线AF1的斜率存在，设为，则AF的方程为—k(x+1)，

3、F(一c，o)，F2(c，0)．已知点(1，P)和(，)都在厶BF2的方程为Y—k(x一1)，设A(x1，Y1)，椭圆上，其中e为椭圆的离心率．B(x2，Y2)．(1)求椭圆的方程；rY—k(x+1)，J(2)设A，B是椭圆上位联立方程组{lz十．，消去Y得Y。一l’于z轴上方的两点，且直线AF与直线BF平行，AF与一(1+2k)z。+4k。z十2k一2—0，BF。交于点P．解得一．(i)若AF一BF2一，厶同理可求得：z。一．图1求直线AF的斜率；(ii)求证：PF1+PF2为定值．由焦半径公式得AF。一+。，BF。一本题主要考查椭圆的定义、标准方程及几何

4、性质、直线方程、两点间的距离公式等基础知识，一所以考查运算求解能力和推理论证能力．本题构思新颖，设问独特，很多学生的一个共同感受是：知识一BF。=(+z)一(一。)点看起来很熟悉，解题思路也很清晰，就是运算整理很麻烦，无法正常预见思维的可行性．一譬c科一2v／~再+1．一2第(1)问是常规问题，比较简单，答案是十又AF一BF2一，所以一廨6数学通讯——2O12年第9期(上半月)·辅教导学·1—2a—BF2，’1F2：：=2c，得k。一去．在△AF。F2中，由余弦定理得又因为AF>BF2，所以忌>o，故k：．cos肌F一生；评注解法1思路清晰自然，不求技巧，属

5、于在△BFF2中，由余弦定理得通性通法，便于学生理解掌握．另外，求得X一cosZBF：F一堕．百-F2-2k2———_二F——一，’z。一———_二F广后日，’也B可直且因为AF／／BF2，所以cosAF1F一接得到一cosLBF2F1，即AF1=~／(xl+1)+3，ii±二二2·AF1·2c一√(Xl十1)‘十k‘(1十1)。BF；+(2f)一(2a—BE2)：=一一(z+1)2·BF2·2c’(而+1)化简得(口一c)(AF1+BF2)一2a·AF1·一一————-—一’BFz所以+壶一南．同理可得BF：一十-}，于又口一，c一1，所以+百一2厄是得到

6、AF一BF：，这就避开了直接一十l结合AF一BF一，可解得AF一．2√2利用焦半径公式，也是学生熟悉的解题方法．思路2要求直线AF的斜率，可考虑先求代入可求得cos~AFF2一，所以出点A的坐标．解法2设A(x，Y)，B(x2，Y2)，由焦半径公tanAFF一，即直线AF的斜率为．式得AF：+，BF：一一％评注这种解法从椭圆的第一定义人手，结合三角形的余弦定理列方程求出倾斜角的余弦又。．‘AF一BF：一，I．．z+z2一值，进而得到斜率，思路清晰，过程自然．解题过程因为AF／／BF2，且AF。≠BF2，所以两条直中得到了一个具有一般性的中间结果：+壶线的斜率

7、存在且相等，所以—一—丝，即Xlt1X2——lY2一nz—C2‘澈两2-xi~一一，消去zz得思路4先考虑利用好AF／／BF这个条件，延长AF。交椭圆于点C，则点C和点B关于原点对2}+(6—2)。+4—3=0，称，BF2一F1C，于是AFl～CF1：AFl—BF2一解得z一或煎(舍去)，，再由焦半径公式化为(n+)一(n+。)一所=2-2x~一等．，即z一z一，于是问题转化为：“已知椭圆所11一z直线AF·的斜率为．+Y=：=1的弦AC过焦点YJ厶评注解法2实质是根据条件得到关于，F。，且zA～zc一，求直线Y。，zz，Yz的方程组，然后消元求解．AC的斜

8、率．”一思路3要求斜率，可先研究倾斜角，考虑到解法4