2016江苏高考填空压轴题的解法赏析.pdf

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1、一条高考压轴题的解法赏析笔者近来查阅江苏2016年高考数学题时，发现其14题与课本必修４P例4结论有渊源，116依托深刻的三角理论根基，显示出知识发展的源与流，对考生的思维爬坡，运算准确提出新挑战．【题源】在斜三角形ABC中，求证：tanAtanBtanCtanAtanBtanC【考题】(2016年江苏数学14)在锐角三角形ABC中，若sinA2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是.【分析】本题考查了三角公式及不等式的最值．思路开阔，多解频生．对考生的运算能力、符号处理能力、把握数学本质的能力、良好的思维品质及应试策略等数学素养是有较高的要

2、求。【解法一】在锐角三角形ABC中，由sinA2sinBsinC及sinAsinBCsinBcosCcosBsinC，得2tanBtanCtanBtanC，又tanAtanBtanCtanAtanBtanC，tanBtanC2tanBtanC则tanA，tanBtanC1tanBtanC122x12今xtanBtanC10则tanAtanBtanC2x48，xx（仅当x1即tanBtanC2时等号成立）．所以tanAtanBtanC的最小值是8．【点评】本题是三角的常见题型，需要学生有一定的转化

3、能力，将正弦化正切，有一定难度．【解法二】在锐角三角形ABC中A,B,C均为锐角，所以cosA0,cosBC0，sinA2sinBsinC2sinBsinC则由sinA2sinBsinC可得，cosAcosBCsinBsinCcosBcosC2tanBtanC所以tanA，即tanAtanBtanCtanA2tanBtanC，tanBtanC1因为tanA2tanBtanC2tanA2tanBtanC，所以tanAtanBtanC2tanA2tanBtanC，解得tanAtanBtanC8，（仅当

4、tanA2tanBtanC4时等号成立）．所以tanAtanBtanC的最小值是8．【点评】本题要求学生具备很高的素质才能在短时间内完成，培养学生细心的思维品质。【解法三】在锐角三角形ABC中由tanAtanBC得tanAtanBtanCtanAtanBtanC……①2tanBtanC又由tanA得tanAtanBtanCtanA2tanBtanC……②tanBtanC1tanA由①②得tanBtanC，tanA22tanA4则tanAtanBtanCtanA248，tanA2tanA2所以tanAta

5、nBtanC8，（仅当tanA4时等号成立）．所以tanAtanBtanC的最小值是8．（仅当tanA4时取最小值）．【解法四】在锐角三角形ABC中，1cosAcosBCsinBsinCcosBcosCsinAcosBcosC21所以cosBcosCsinAcosA212sinAsinAsinBsinC21tanAtanBtanC82cosAcosBcosCcosA1sinAcosAcosA122sinA4解得tanAtanBtanC8，（仅当tanA4时等号

6、成立）．所以tanAtanBtanC的最小值是8．【解法五】由sinAsinπAsinBCsincosBCcossinBC，sinA2sinsinBC，可得sincosBCcossinBC2sinsinBC（*），由三角形ABC为锐角三角形，则cosB0,cosC0，在（*）式两侧同时除以coscosBC可得tanBtanC2tanBtanC，tanBtanC又tanAtanπAtanBC(#)，1tanBtanCtanBtanC则tanAtanBtanCtanBtanC，1tanBtanC22tan

7、BtanC由tanBtanC2tanBtanC可得tanAtanBtanC，1tanBtanC令tanBtanCt，由ABC,,为锐角可得tanA0,tanB0,tanC0，由(#)得1tanBtanC0，解得t1222t211111111tanAtanBtanC，，由t1则0，11122tttt24tt42tt因此tanAtanBtanC最小值为8，当且仅当t2时取到等号，此时tanBtanC4，tanBtanC2，解得ta