立足基础，内涵丰富——2014年高考数学江西卷理科第20题的证明及推广-论文.pdf

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1、教学参谋解法探究2014年9月立足基础，内涵丰富——2Ol4年高考数学江西卷理科第20题的证明及推广⑩江苏省丹阳市第五中学郦胜翔2014年高考已经落下帷幕，与去年相比，今年高考因为F∥0，所以直线m斜率为．数学江西卷理科试题的难度整体有所增加，题型基本稳a定，笔者特别关注了高考数学江西卷理科第20题，不难设直线：y：(X-~)．发现，该题立足于基础，考查了考生对双曲线上的切线、a渐近线、准线、直线的位置关系、以双曲线为背景求定值联立y=(—c)和=一0，可得点(＼号二，一厶“)／．a等基础知识的综合运用．常规中较全面地考查了学生对3c基础知识的掌握情况，凸显高考对能力的要求．本文对此题做

2、了进一步的探究，由于笔者水平有限，若有不足NII~kAs-—YA-—YB：：三BCa之处，还望各位同行批评指正．—23一I~JAB_1_OB，知OB~k庐一1—、真题再现：一1，解得、／／了．如图1，已知双曲线C：-y所以双曲线c的方程为一1．a‘一y=1(a>0)的右焦点为F，点、＼／7』4／、解法2：设直线A渐近线的两交点分别为A、D．设A、B分别在C的两条渐近线’FiA(，)、F(c，0)．上，F上轴，AB上OB，BF／／因为助双曲线的右焦点，所以C=~v,／—a2+—1．OA(0为坐标原点)．图1N~AF_L轴，所以：c，：一1XA=三．(1)求双曲线C的方程；(2)过C上一点P

3、(。，Y。)(y。≠0)的直线Z：—XoX--YoY=I因为脯是线黝D的中点，BF∥OA，所以B点为线与直线A肼目交于点，与直线=÷相交于点Ⅳ，证明点P的柢Y．NN船，N~Oa=A口恽：2·，解得、／了．在c上移动时，恒为定值，并求此值．所以双曲线c的方程为X2=1这是一道看似平淡朴实的常规解析几何题，它着重．考查直线与圆锥曲线的位置关系与数量关系．本题构思解法3：设fXB~-1．精巧、立意深刻、内涵丰富，它实际上与2013年高考江西＼a／卷理科第20题是一脉相承的，在领略考题智慧的同时激因为曰F∥，ABJ_OB，所以：。，，所以‰：发我们去思考和探究它的潜在价值．a(1)解法1：(XA

4、，yA)、B(XB，Y8)、c，0)．y：口()一，：y：(X-XB)一一XB因为功双曲线的右焦点，所以c=、／．．aaa1~AF~x轴，知=c，==0．：y：一．a中?擞·7高中版学2014年9月解法探究谋联立y：。(x-xB)一和y：1求得：旦．-，y=1的一个优美性质，那／z,，对于一般的双曲线，是由直线点c，0)，知c=2x否也有如此简洁优美的性质呢?经过探究，该性质对～般的双曲线也成立，于是有定理1．I~tAF_I_轴，得：。，则．庐2x，解得、／了．定理l：已知双曲线c：一：l(0>0，6>0)，腥其一所以双曲线c的方程为—=1．个焦点，过腓垂直于轴的直线f，P(x。，yo)

5、(Yo≠0)是双解法1从代数的角度考虑，先设各个点的坐标，再将曲线C上任意一点，以助切点的切线m分别交直线Z和与题中各已知条件代数化，并根据条件建立等量关系来求焦点应的准于点、ⅣN，贝0得a的值．解法2从几何的角度考虑，将题中各几何关系进筹行等价转化求得a的值．解法3根据题中各直线与直线的椭圆和双曲线都是有心圆锥曲线，那么对于椭圆是位置关系设直线方程，并建立等量关系求得a的值．否也有类似的优美性质呢?该性质对于无心圆锥曲线——抛物线是否也成立呢?经过探究，得定理2和定理(2)解：~StM(x，)、N(x，)．3．墨}由(1)知a=、／了，所以直线z：。=1．因为直线定理2：已知椭圆c：+

6、：1(6>0)，腥其一个焦与直线AF：=2交于点，所以联立：2和y=1(—27：~0～1)，点，过腓垂直于轴的直线f，P(x。，yo)(yo#O)是椭圆C上Yo、任意一点，以助切点的切线m~JI]交直线l和与焦点寸可得，y~=-(孚一·)_应的准于点’贝IJ-e一同理丢，l．．(x—o一)．定理3：已知抛物线C：／=2px(p>O)，腥其焦点，过F作垂直于轴的直线f，P(x。，yo)(yo#0)是抛物线C上任意-删去(孚一·)，-彻=、／(寻一2)砖(詈一)．一点，以P为切点的切线m分别交直线z和准线f于点、砌0-1．三、反思与启示(1)本题解法起点不高，对于圆锥曲线题，学生很容由点P(

7、y。)在双曲线上，知詈2=1，整理得易想到设点、设线，以及代数方法、几何表示等，难点在一一于接下来有一定的运算量．学生不能及时运用已知条件3。进行化简，导致越算越繁，最终不能算出正确结果．求解定值问题时，需要将问题中的具体代数式整理(2)本题解法的拓展延伸体现了对数学本质的认出来，再利用已知条件化简求得其结果，这是求解定值识，而对运算能力的考查中包含了对思维能力的要求和问题的一般思路．本题思路较清晰，先求长度，再化简，对思维品质的考