2014年高考江西卷理科第15题的探究之旅.pdf

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1、５６数学通讯———２０１５年第３期（上半月）·课外园地·２０１４年高考江西卷理科第１５题的探究之旅李恬恬指导教师黄清波（福建省南安市国光第二中学高二（四）班，３６２３２１）题目（２０１４年高考江西卷理科第１５题）过１（ｘ２２）＋１（ｙ２２）＝０，得式相减得，２１－ｘ２２１－ｙ２２２ａｂ１ｘｙ点Ｍ（１，１）作斜率为－的直线与椭圆Ｃ：＋２２２（ｘ）２２ａｂｙ１－ｙ２ｂ１＋ｘ２ｂ１，即ａ２＝－２（ｙ）＝－２＝－＝＝１（ａ＞ｂ＞０）相交于Ａ，Ｂ，若Ｍ是线段ＡＢ的ｘ１－ｘ２ａ１＋ｙ２ａ２２，其他同解法１．中点，则椭圆Ｃ的离心率为．２ｂ分析本题源于人教版Ａ版选修４—４《坐标３．参数法系与参数方程》第３７

2、页例２：经过点Ｍ（２，１）作直分析：联立直线的参数方程和椭圆方程，借助ｘ２ｙ２直线的参数方程中参数ｔ的几何意义，得出ａ与ｂ线ｌ，交椭圆＋＝１于Ａ，Ｂ两点．如果点Ｍ恰１６４的关系式．好为线段ＡＢ的中点，求直线ｌ的方程．主要是考解法３由已知，直线ＡＢ的参数方程为：ｘ＝查直线的参数方程、直线与椭圆的位置关系等基２槡５槡５１－ｔ，ｙ＝１＋ｔ．代入椭圆方程整理得：础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思５５想，难度适中．对于这道例题，若能调动所学知识，（４ｂ２＋１ａ２）ｔ２－（４槡５ｂ２－２槡５ａ２）ｔ＋ａ２＋ｂ２从不同的视角进行思考，也能探索出多种解法．５５５５一、常规解法２２－ａｂ＝０，１．判别

3、式法４槡５２２槡５２ｂ－ａ分析：联立直线和椭圆的方程，借助于一元二５５则ｔ１＋ｔ２＝．次方程的根的判别式，根与系数的关系，中点坐标４ｂ２＋１ａ２５５公式及参数法求解．由ｔ的几何意义，且点Ｍ是线段ＡＢ的中点，解法１由已知，直线ＡＢ的方程为ｘ＋２ｙ－２２所以ｔ１＋ｔ２４槡５２２槡５２２ｘｙ＝０，即ｂ－ａ＝０，得ａ＝３＝０，联立椭圆Ｃ：２＋２＝１，整理得２５５ａｂ２，其他同解法１．（４ｂ２２）ｙ２２２２２２ｂ＋ａ－１２ｂｙ＋９ｂ－ａｂ＝０．点评以上３种解法是解决“中点弦”问题的ｙ１＋ｙ２设Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２），则＝常规解法，都是采用“设而不求”的思想方法，思路２１２ｂ２清晰，易于掌握

4、．２２，且ａ２２２，２２）＝１，整理得ａ＝２ｂ＝ｂ＋ｃ２（４ｂ＋ａ二、别样解法２２，所以椭圆Ｃ的离心率为槡２定义若两共中心的椭圆的图象可以通过伸所以ａ＝２ｃ．２２ｘ缩而重合，我们称之为相似椭圆．如：椭圆Ｃ１：＋２．点差法４分析：设直线与椭圆的交点（弦的端点）坐标，２２２ｙｘｙ＝１与椭圆Ｃ２：＋＝２为相似椭圆．将这两点代入椭圆的方程并对所得两式作差，得３４３文献［１］证得：到一个与弦的中点和斜率有关的式子，大大减少运算量．定理１设椭圆Ｃ与Ｃ′为相似椭圆，直线ｌ为解法２设Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２），则ｘ１＋ｘ２过椭圆Ｃ′上点Ｍ的切线，且ｌ交椭圆Ｃ于Ａ，Ｂ两２２２２点，则点Ｍ为弦ＡＢ的中点

5、．反之，若ＡＢ为不过椭ｘ１ｙ１ｘ２ｙ２＝２，ｙ１＋ｙ２＝２，且２＋２＝１，２＋２＝１，两圆中心的弦，且点Ｍ为弦ＡＢ的中点，则存在一相ａｂａｂ·课外园地·数学通讯———２０１５年第３期（上半月）５７似椭圆Ｃ′，使直线ＡＢ为过椭圆Ｃ′上点Ｍ的切线．２２２ｂａ－ｃ２＝－２＝－２＝ｅ－１，即证．２ａａｘ解法４由定理１知，存在一相似椭圆Ｃ′：２四、横向发散ａ２我们知道，在圆锥曲线之间，经常出现孪生结ｙ＋２＝ｍ（ａ＞ｂ＞０，ｍ＞０），使直线ＡＢ为过椭ｂ论的现象，双曲线是不是也有类似的性质呢？圆Ｃ′上点Ｍ的切线．得切线方程为ｘ＋ｙ＝ｍ，其定义若两共中心的双曲线图象可以通过伸２２ａｂ缩而重合，我们称之为相似

6、双曲线．如双曲线Ｃ：２ｂ１２２斜率为－＝－，即ａ＝２ｂ，其他同解法１．２２２２２２ｘｙｘｙａ－＝１与双曲线Ｃ′：－＝２为相似双曲４３４３文献［１］还证得另一定理：线．定理２设直线ｌ１：ｙ＝ｋ１ｘ＋ｐ不平行于椭圆定理４设双曲线Ｃ与Ｃ′为相似双曲线，直线２２ｘｙΓ：２＋２＝１（ａ＞ｂ＞０）对称轴且不过椭圆的中ｌ为过双曲线Ｃ′上点Ｍ的切线，且ｌ交双曲线Ｃ于ａｂ心，交椭圆Γ于Ｃ、Ｄ两点，交直线ｌ２：ｙ＝ｋ２ｘ于点Ａ，Ｂ两点，则点Ｍ为弦ＡＢ的中点．反之，若ＡＢ为２不过双曲线Ｃ中心的弦，且点Ｍ为弦ＡＢ的中点，ｂＥ．则Ｅ为ＣＤ中点ｋ１·ｋ２＝－ａ２．则存在一相似双曲线Ｃ′，使直线ＡＢ为过双曲线Ｃ′１ｂ２

7、上点Ｍ的切线．解法５由定理２知，－·１＝－，即ａ２２＝２ａ定理５设直线ｌ１：ｙ＝ｋ１ｘ＋ｐ不平行于双曲２２ｂ，其他同解法１．ｘ２ｙ２２２２，所以线Γ：ａ２－ｂ２＝１（ａ＞０，ｂ＞０）对称轴且不过双因为ａ＝ｂ＋ｃｂ２ａ２－ｃ２ｃ曲线的中心，交双曲线Γ于Ｃ、Ｄ两点，交直线ｌ２：ｙ）２ｋ１·ｋ２＝－２＝－２＝（－１ａａａｂ２２＝ｋ２ｘ于点Ｅ．则Ｅ为ＣＤ中点ｋ１·ｋ２＝２．＝ｅ－１．ａ２定理６若直线ｌ过双曲线的中心