2013年全国高考湖南卷理科第10题的解法探究

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1、2014年第4期数学教学—192013年全国高考湖南卷理科第1O题的解法探究722200陕西省扶风高级中学吕兴功2013年全国高考数学湖南卷理科第10题，旦+2：_二_一~Z23(一2)+12≥虽然题目简单，但形式灵活、新颖，入口面广，12．取等号的条件与解法2相同．涉及的知识面也很广，可以从不同的层面去理反思2：解法2、3都分别从二元、一元函解和分析，同时也触及了许多数学思想方法，数的角度出发，利用函数的方法求最小值．下因此这是一道意境优雅、内涵丰富的好题，也面，我们从整体出发，把+Y+Z2视为三元是一道解题训练的优质试题，很有再度开发和函数，直接利用基本不等式求最小值

2、．使用价值．下面我们探索本题的解法．解法4：(基本不等式)‘．。X+Y+z=6，题目已知a、b、C∈R，a+2b+3c=6，。．．。+Y+=1(3x+3y+3z。)≥去(+．oo则0+4b+9c的最小值为———研究方向一：标准化命题，从函数和不++2xy+2yz+2xz)=(++)≥12．等式角度探究，求最小值．取等号的条件与解法2相同．解法1：’．’a+2b+3c：6，(a+2b+3c)=反思3：对于解法4中的不等式fz+Y+a+4b+9c0+2a×(2b)+2a×(3c)+2×(2b)×)≤3(x0+。+)是解决本题的核心，也是本(3c)≤3(a2+4b+9c)，．‘

3、．a+4b+9c。≥12．题的本质，这个不等式我们还可以直接由柯西当且仅当a=2b=3c=2，即a=2，b=1，c=不等式和函数的凹凸性得到，请看下面的方法．昙时取等号．故0+4b0+9c的最小值为12．解法5：(柯西不等式)(+Y+)=(×反思1：通过上面的解法，发现本题的本1+×1+×1)。≤(X++)(1+1+12)．又X+Y+=6，．‘．X0+Y+≥12．取质是利用基本不等式求最值；同时发现本题的形式不是一个标准形式，如果我们把问题标准等号的条件与解法2相同．化还可以得到一些简便的解法．解法6：作函数f(x)=X2x∈R)，函数f(x)标准化命题：作代换，令X=a

4、，Y：2b，：在R上为凸函数，由凸函数的性质，=3c，则原问题等价于：，≤“已知、Y、∈R，+Y+=6，贝0≤，以下解法同解法5．”X+Y+Z0的最小值为．——反思4：利用凸函数的性质，还可以得到解法2：(转化为二元函数求最小值)‘．‘+f，±兰±：：：±1。≤竺十一兰±．_嗌(nY+=6，．‘．=6一(X+)，．‘．X。+Y+Z=为大于或等于2的正整数)．下面，我们试图分。+Y+(+)。一12(x+Y)+36≥(+析、寻找这些标准式的几何意义，以数助形，)一12(+y)+36：昙x+一4)+12≥12．数形互补．取等号的条件是X=Y=Z=2，即0=研究方向二：对标准化命

5、题，从几何角2，6=1，c=2．度联想、类比，构造数学模型．解法3：(转化为一元函数求最小值)‘．‘+若从几何角度对X0+Y+Z0进行分析，Y+Z=6，．‘．X+Y=6一，．‘．X+Y+Z≥令++Z2=，则+Y=r一Z可视一20数学教学2014年第4期为圆，对于z+=6一z刻意从几何角度联想，解法10：(构造空间向量)由十+一6，则为直线方程，于是便有下面的解法．作向量=(z，，)，=(1，1，1)，由l·虿l解法7：令++=／,2(r>0)，贝0≤lIlI可得，(++)≤3(x++Z2)，z+y2=T2一Z2‘⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．．++≥12．取等号的条件与共，①z+=6

6、一z，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯··②线，即===2．反思8：把+十=1,2(r>0)与圆在这里我们视、为变量，暂时视为常量，的方程类比，++z2=r可以看成球面于是①式可以看作圆，②式可以看作直线的的方程，++=6可以看成平面的方程，于方程则问题转化为直线和圆有公共点时，求是便有下面的解法．r的最小值．由题意，解法11：f球面和平面有公共点)令+≤r2_z2，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯③+2=T2(r>0)，++=6，则问题转化则问题又转化为不等式③有解时，求r的最为球面与平面有公共点时，求r的最小值．f由小值．对不等式③化简，7'。≥12+昙(z一2)，点到直线的距离公式，可以类比

7、出点到平面的‘r2≥12．．．距离公式1则球心到平面的距离不大于球的半当=2时取等号，此时由①、②可知，：=2．径，≥(等)，···7,2≥12．取等号的条件与解法7相同．反思5：有了圆的标准方程，也就有了圆反思9：从几何角度来看，0++20可的参数方程，于是三角代换的思想自然就随之以看作空间中的点(，，)到原点之间的距离产生了．的平方，而点(，，)在平面++=6内，解法8：f三角代换法)接解法7，对于①式于是有下面的巧妙解法．作代换，令z=、／／r2一Z2COS0，=、／／r2一Z2解法12：(点到平面的距离)已知、·sin