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1、对全国高考北京卷立体几何题的解法探究与反思看了2008年全国高考北京卷理（文）第16题眼前一亮，其低起点使每个考生都易于下手，其难点处考查知识面之宽足能让学生找到十几种解法，而要完整地解好此题，对能力要求之高也足以让学生深感立体几何的魅力所在。B题冃：女II图，在三棱锥P-ABC中，AC=BCZACB=90°,AP=BP=AB,PC丄AC.（I）求证：PC丄AB；（II）求二面角B-AP-C的大小；（III）求点C到平面APB的距离.本题是立休儿何的一道常规题，难度不人，主要考察直线与平面的位置关、棱锥等基础知识，考察空间想象能力
2、、逻辑思维能力和运算能力；重点考查一个定理（三垂线定理）、一种关系（线而的垂岂）、一个角（二而角）。通过阅卷,我们不难发现题虽然简单，但令不少考牛耗时费力，考住得分情况并不乐观，主要体现在：缺少空间想象能力，位宜关系的论证思路不清晰，不明确二血角的含义，不能正确地找出二面如的平面角，还仔计算上的不准确。现将木题的解法和及对考生解题情况反思如下：1.对第一问的解法探究B解法一：取AB^点D,连结PD,CD.•・•AP=BP,・•.PD丄AB.•・•AC=BC,.・.CD丄4B・•・•PDCCD=Df:.A3丄平面PCD,•・•PC
3、u平向PCD,・•.PC丄AB・解法二：・・・AC二BC,AP=BP,乂PC丄AC,・•・PC丄BC.•・・ACC1BC=C,•・・PC丄平而ABC.•・•ABu平面ABC,:.PC丄AB,解法三：AC=BC=2,ZACB=90°/.AB=2^2・.・AP=BP=ABAP=BP=2V2•・•PC丄ACPC=^PA2-AC2=2/.PC2+BC2=PB2:.PC丄BC・・・ACnBC=C,:.PC丄平面ABC.・・•ABu平面4BC,・•・PC丄4B・解法四：vAC丄PC,AC丄BC・・・AC丄平面PBC由解法二或解法三能证岀：PC
4、丄BC根据三垂线定理得：PC丄反思：线线垂直，是线面垂直和面面垂直的某础，在空间线面位置关系中占冇重要的位置，解法一、解法二、解法三体现数学中的转化思想，即：线丄线u线丄面；解法四印证了三垂线定理在证明线线垂直中所起的重要作用，纵观考生的解题过程，发现部分考牛首先空间概念没逢立起來，再有不能将已知进行加工、整合、运用，还有平血儿何知识如：勾股定理，等腰三角形的性质等不能恰当的运用。1.对第二问的解法探究解法一：・・・AC=BC,AP=BP,..△APC竺ZWC.又PC丄AC,乂ZACB=90即AC丄BC,W.AC^PC=C,.・
5、.PC1BC.・•・BC丄平面PAC.取AP中点E・连结BE,CE・・・•AB=BP,:.BE丄AP.・・・EC是3E在平面P4C内的射影，/.CE丄AP.・•.ZBEC是二面角B-AP-C的平面角.在厶BCE屮，ZBCE=90°,BC2,BE=—AB=y[6f2/.sinZBEC=二面角B-AP-C的大小为arcsin3解法二：在第一问中已求出AC=PC=2取AP^点E,连接BE.CE,贝iJCE丄AP乂AP=BP=AB:.BELAP:.ZBEC是二面角B-AP-C的平面角•BE=在ABCE中，ZBCE=90°,BC=2,sin
6、ZBEC=BCV6BE•••二面角—C的大小为arcsi呼y解法三：“利用面积射影定理COS0=L”（此处要对而积射影定理进行证明）S由解法一冇BC丄平面PAC•••APAC是BPA的射影。由已知PA=PB=AB=7AC2+BC2=2V2•••S"卯=2a/3・・•PC丄AC.・.PC=^PA2-AC2=2.・.S〃c=2.•.所求二而角为:...COS0=^^出£3」ARABJ解法四：由(1)有PC丄平ifijABC如图，以C为原点建立空间直角处标系C-JQN・则C(0,0,0),A(0,2,0),B(2,0,0).设P(0
7、,0,f)・v
8、PB
9、=
10、AB
11、=2x/2,r=2,P(0,0,2).取AP中点E,连结BE,CE.vAC=PC,AB=BPf:.CE丄AP,BE丄AP.ZBEC是二面角B-AP-C的平面角.・・・£(O,l,l),EC=(O,-1,-1),EB=(2,-1,-1),cosZBECECEB25/3二面角B-AP-C的大小为arccosV2V6-3解法五：由(1)有PC丄平面ABC如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz.则C(0,0,0),A(0,2,0),B(2,0,0).设向量历=(x,>1)为平面FAB的
12、一个法向量，向量五为平面PAC的一个法向量由(1)有CB丄平面FAC:,n=CB=(2,0,0)设P(0,0,/),・・・
13、PB1=1AB=2^2?.r=2P(0,0,2)•・•A(0,2,0),B(2,0,0),・・.AB=(2,—2,0),A
