广东省高考立体几何题典型解法探究-论文.pdf

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1、‘效字Z友)2014年第16期豳广东省高考立体几何题典型解法探究彭肖欢。谢菲菲。沈威(广东省惠州学院数学系，516007)2014年广东高考理科数学第l8题：CF上F，所以由三垂线的逆定理知CF上DF，因为如图1，四边形ABCD为BAFnDF于点F，CF平面ADF，因此有CF上平正方形，PD上平面ABCD，面ADF．DPC=30。，AF上PC于点解法2：因为四边形ABCD是正方形，F。EF／／CD。交PD于E．。所以AD上CD．(1)证明：CF上平因为PD上平面ACD，所以PD上n面A；因为AD上CD，PD_LA

2、D，(2)求二面角D—AF—所以AD上平面PCD，所以AD上CF，AD上DFE的余弦值．因为AF上PC，所以DF上CF，本题主要考查立体几何方面的知识，要求学生所以CF上平面ADF．掌握线面垂直的判定定理以及其他相关知识，例如1．3面面垂直法面面垂直的性质定理，同时该题对考生的运算能力思路3证明线面垂直，可以转化为证明面面也有一定的要求．该题还考查了学生的转化思想和垂直，根据条件CF上AF，若能证得平面ACF上平面从不同方向解决数学问题的思想．本题的解法多，思ADF，运用面面垂直的性质定理有CF上平面ADF，路宽

3、，现将一些有代表性的解题思路举例如下．则问题得证．解法3：如图2所示，过1第(1)问的解题思路与解题过程点D作直线DMJ_AF，过点本题第(1)问是求证：上平面ADF，结合高中作直线ua#CF．C数学的几何知识，主要有5种代表性的思路，其中前因为CF3_AF，三种为几何方法，后两种是向量方法．所以G上A1．1线面垂直法因此D是平面ADF思路1证明线面垂直可以直接运用线面垂直与平面ACF的平面角．的判定定理，这是学生最容易想到的也是应用最多设CD~-NDM：孚口，=学口，的思路，根据题目条件和图1，要证CFj-平面

4、ADF，只要证明CF上AD即可．由四边形ABCD是正方形AC=．，得AD上CD，由PD上平面ABCD得AD上PD，因此有AD上平面PDC，则有CF上AD，再结合AF上PC(CF因为=了4，所以=等，Ac=等×=口，上AF)，得到CF上平面ADF．解法1：因为四边形ABCD是正方形，GM==．所以AD上CD．．因为，OG=1=因为PD上平面ABCD．所以PD上AD．，因为AD上CD，PD上，DO上OG(0为对角线AC的中点)，所以AD上平面PCD，所以AD上PC．又AF_kPC，AD上PC，所以上平面ADF．所以D

5、G==寻，1．2三垂线法思路2由条件知AD上平面PDC，则必有AD上因为+MG2=筹a2Dc2，所以GM2．DM．DF，因此有DF是斜线AF在平面PDC上射影．因为即DMG=90o．平面ADF上平面AC·90·<数学之友>2014年第l6期由AF是平面ADF与平面ACF的交线，CF_LAF，_LAE交AE于点』v，容易证得NM上AF，则找到所以由面面垂直的性质有CF上平面ADF．LNMD就为二面角D—AF—E的平面角，用余弦定1．4空间向量法理计算NMD的余弦值．思路4通过建立空间直角坐标系，在空间向解法1：如图

6、4，过点D作量的解释推导下结合线面垂直判定定理，证得CF上DMJ_AF交AF于点，作DN平面ADF．上AE交AE于点Ⅳ，再连接解法4：如图3所示。NM，设CD=以点D为坐标原点，因为CD上平面ADE且设DC=0。以DP、EF／／CD，DC、DA所在的直线分别所以EF1平面ADE．为轴、Y轴、轴建立直因为DNC平面AED，所以上DN．角坐标系．又删上A，所以DN_L平面AEF，删上A设平面ADF的一个因为DM．LAF且DN_LAF，＼法向量n1=(1，Yl，1)．所以AF上平面DNM，所以AF上EhHA=(0，0，

7、口)，根据二面角的平面角的定义得LNMD就为二一DF=(口，寻口，o)，=(字口，一-~-a,0)，面角D—AF—E的平面角．则n1·D———A÷=0，nl·O———F=0．易算得=孚口，DⅣ=鲁口，删=．令Y。=1，则l=一，所以，l。=(一，1，0)．所以cosLNMD=鲁由Jl=一，即，l／／，2．2三垂线法所以CF上平面AD思路2．1过点E作垂直于平面ADF的垂线1．5自由向量法EO，作EH上AF，根据三垂线定理可得AF上HO．就思路5对于大部分学生而言，通过建立适当可以知道E日0就是二面角D—AF—E的

8、平面角，坐标系，用坐标表示向量的方法已经深深印在其数问题就可以很容易求解．学认知结构中．但数学中向量的自由平移属性使解解法2：如图5，过点E作决该问题不需要建立空间直角坐标系，运用自由向CF的平行线交DF于点0，量法即可，简单明了，体现了数学中向量的特有属再过点E作EH上AF，连接性．对于本问，同样可以用自由向量的方法解决．OH，设CD=口．解法5：由于空间坐标系的任意性