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时间:2018-03-09
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1、‘效字Z友)2014年第16期豳广东省高考立体几何题典型解法探究彭肖欢。谢菲菲。沈威(广东省惠州学院数学系,516007)2014年广东高考理科数学第l8题:CF上F,所以由三垂线的逆定理知CF上DF,因为如图1,四边形ABCD为BAFnDF于点F,CF平面ADF,因此有CF上平正方形,PD上平面ABCD,面ADF.DPC=30。,AF上PC于点解法2:因为四边形ABCD是正方形,F。EF//CD。交PD于E.。所以AD上CD.(1)证明:CF上平因为PD上平面ACD,所以PD上n面A;因为AD上CD,PD_LAD,(2)求二面角D—AF—
2、所以AD上平面PCD,所以AD上CF,AD上DFE的余弦值.因为AF上PC,所以DF上CF,本题主要考查立体几何方面的知识,要求学生所以CF上平面ADF.掌握线面垂直的判定定理以及其他相关知识,例如1.3面面垂直法面面垂直的性质定理,同时该题对考生的运算能力思路3证明线面垂直,可以转化为证明面面也有一定的要求.该题还考查了学生的转化思想和垂直,根据条件CF上AF,若能证得平面ACF上平面从不同方向解决数学问题的思想.本题的解法多,思ADF,运用面面垂直的性质定理有CF上平面ADF,路宽,现将一些有代表性的解题思路举例如下.则问题得证.解法3
3、:如图2所示,过1第(1)问的解题思路与解题过程点D作直线DMJ_AF,过点本题第(1)问是求证:上平面ADF,结合高中作直线ua#CF.C数学的几何知识,主要有5种代表性的思路,其中前因为CF3_AF,三种为几何方法,后两种是向量方法.所以G上A1.1线面垂直法因此D是平面ADF思路1证明线面垂直可以直接运用线面垂直与平面ACF的平面角.的判定定理,这是学生最容易想到的也是应用最多设CD~-NDM:孚口,=学口,的思路,根据题目条件和图1,要证CFj-平面ADF,只要证明CF上AD即可.由四边形ABCD是正方形AC=.,得AD上CD,由P
4、D上平面ABCD得AD上PD,因此有AD上平面PDC,则有CF上AD,再结合AF上PC(CF因为=了4,所以=等,Ac=等×=口,上AF),得到CF上平面ADF.解法1:因为四边形ABCD是正方形,GM==.所以AD上CD..因为,OG=1=因为PD上平面ABCD.所以PD上AD.,因为AD上CD,PD上,DO上OG(0为对角线AC的中点),所以AD上平面PCD,所以AD上PC.又AF_kPC,AD上PC,所以上平面ADF.所以DG==寻,1.2三垂线法思路2由条件知AD上平面PDC,则必有AD上因为+MG2=筹a2Dc2,所以GM2.DM
5、.DF,因此有DF是斜线AF在平面PDC上射影.因为即DMG=90o.平面ADF上平面AC·90·<数学之友>2014年第l6期由AF是平面ADF与平面ACF的交线,CF_LAF,_LAE交AE于点』v,容易证得NM上AF,则找到所以由面面垂直的性质有CF上平面ADF.LNMD就为二面角D—AF—E的平面角,用余弦定1.4空间向量法理计算NMD的余弦值.思路4通过建立空间直角坐标系,在空间向解法1:如图4,过点D作量的解释推导下结合线面垂直判定定理,证得CF上DMJ_AF交AF于点,作DN平面ADF.上AE交AE于点Ⅳ,再连接解法4:如图3
6、所示。NM,设CD=以点D为坐标原点,因为CD上平面ADE且设DC=0。以DP、EF//CD,DC、DA所在的直线分别所以EF1平面ADE.为轴、Y轴、轴建立直因为DNC平面AED,所以上DN.角坐标系.又删上A,所以DN_L平面AEF,删上A设平面ADF的一个因为DM.LAF且DN_LAF,\法向量n1=(1,Yl,1).所以AF上平面DNM,所以AF上EhHA=(0,0,口),根据二面角的平面角的定义得LNMD就为二一DF=(口,寻口,o),=(字口,一-~-a,0),面角D—AF—E的平面角.则n1·D———A÷=0,nl·O———F
7、=0.易算得=孚口,DⅣ=鲁口,删=.令Y。=1,则l=一,所以,l。=(一,1,0).所以cosLNMD=鲁由Jl=一,即,l//,2.2三垂线法所以CF上平面AD思路2.1过点E作垂直于平面ADF的垂线1.5自由向量法EO,作EH上AF,根据三垂线定理可得AF上HO.就思路5对于大部分学生而言,通过建立适当可以知道E日0就是二面角D—AF—E的平面角,坐标系,用坐标表示向量的方法已经深深印在其数问题就可以很容易求解.学认知结构中.但数学中向量的自由平移属性使解解法2:如图5,过点E作决该问题不需要建立空间直角坐标系,运用自由向CF的平行
8、线交DF于点0,量法即可,简单明了,体现了数学中向量的特有属再过点E作EH上AF,连接性.对于本问,同样可以用自由向量的方法解决.OH,设CD=口.解法5:由于空间坐标系的任意性
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