《非线性Klein-Gordon方程的广义Hermite谱方法》.pdf

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1、第36卷第5期河南科技大学学报：自然科学版Vo1．36No．52015年1O月JournalofHenanUniversityofScienceandTechnology：NaturalScienceOct．2O15文章编号：1672—6871(2015)05—0087—05非线性Klein-Gordon方程的广义Hermite谱方法陶冬亚，焦琳，王天军(1．江苏师范大学数学与统计学院，江苏徐州221116；2．徐州工程学院数学与物理科学学院，江苏徐州221111；3．河南科技大学数学与统计学院，河南洛阳471003)捅要：对于量子力学中的非线性Klein—Gordon方

2、程提出了广义Hermite谱方法，给出算法格式和收敛性分析，并证明了该方法在空间方向具有谱精度。数值结果表明：所提方法具有有效性，并与理论结果相吻合。关键词：Klein—Gordon方程；广义Hermite谱方法；谱精度中图分类号：O175．2文献标志码：A0引言通常的谱方法适应于周期问题或者有界区域上的微分方程。文献[5]考虑了有界区域上一类非线性Klein—Gordon方程的Legendre谱和拟谱方法。但科学工程上的问题往往归结为无界区域上微分方程，因此，如何求解无界区域上的微分方程是非常重要的。为此，文献[1—2]将无界区域上的问题转化成有界区域上的奇异问题，然后

3、利用有界区域上的Jacobi谱方法进行数值求解。然而，变换之后的微分方程的形式变得更加复杂，使得数值分析变得非常困难。一个有效的方法就是使用无界区域上的正交函数直接数值求解原问题。最近，文献[12]提出了一类新的广义Hermite正交函数系。这给无界区域问题的数值求解提供了强有力的工具。非线性Klein．Gordon方程在量子力学中起着重要的作用，求解该方程也成为一些学者关心的热点。本文将以定义在全直线上的广义Hermite正交函数系为基底，提出Klein—Gordon方程新的广义Hermite谱方法，并进行数值分析。数值结果表明了新方法的有效性。1预备知识记Hl()是次

4、数为2的标准Hermite多项式。对于任意的正实数卢，文献[12]定义了广义Hermite函数：日()=H()e一如z≥0，，d2z!它构成了L(A)的一个正交函数系，即fat~f()I-22((一。(1)从而，对于任意V∈L(A)，有)=)，)矾。(2)=0’lI为简单起见，记a=。对于正整数r，定义空间及其范数为：基金项目：国家自然科学基金项目(11371123，11171227)；河南省教育厅自然科学基金项目(14B11021)；河南科技大学博士启动基金项目(09001263)作者简介：陶冬亚(1977一)，女，江苏徐州人，讲师，硕士，研究方向为偏微分方程数值解；王

5、天军(1963一)，男，通信作者，河南息县人，副教授，博士，硕士生导师，研究方向为偏微分方程数值解．收稿日期：2015—04—30·88·河南科技大学学报：自然科学版／-／~,，(A)=‰“”<∞}，)(+卢)字‘。(3)在本文中，设正数C与任何函数、正整数Ⅳ和正实数卢都无关。令(A)=span{日()，日()，⋯，日()}，定义正交投影P：‘(A)一(A)为：(a(一P，，^)，a)+(一JP，卢，^，)=0，V∈毋(A)。(4)根据文献[12]，有如下结果：对于正整数r，如果∈H(A)，成立l】—Pvi，≤c(JBⅣ)Tl1ll()。(5)．在对非线性问题进行理论分析

6、时，往往需要估计llP。为此，需要推导下面结果。弓I理1女口果E日(A)，0≤≤r，弭B么：．日lIP≤+c(卢Ⅳ)T)。(6)证明由嵌入定理和式(5)，有：fl≤lI『1+ll．卢，一『1≤lIlI+fl一【I≤『1【l+c(卢Ⅳ)字【l『I。证得结论。2Klein—Gordon方程的广义Hermite谱方法2．1Hermite谱格式众所周知，非线性Klein．Gordon方程在量子力学中起着重要的作用，其一般形式为：(，￡)一u(x，)+U(，)一au(，)=，(，￡)，∈A，0≤￡≤；r7、【aU(，0)=U()，U(，0)：U0()，∈A。另外，假设U()在无穷远

7、处满足一定的边界条件，如：U()一0，—o。。在式(7)的第一个方程的两端乘以∈H(A)，对于得到的等式在区间以上进行分部积分，推得式(7)的一个弱形式，即找到UEg／(0，T；L(A))n(0，T；H(A))，使得：J(和(f)一(￡)+U3(f)，)+(d(f)，d)=(厂()，)，V∈(以)，0<≤；(8)【aU(，0)=U()，U(，0)=Uo()，∈A。如果U。∈H(A)，U∈L(A)且fEL(0，T；L(A))，非线性问题(8)有唯一解。令VN(A)=H(以)n(A)。问题(8)的谱格式为找到u(t)EV(A)，使