数学物理中一些非线性波方程的谱方法

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1、数学物理中一些非线性波方程的谱方法李会元马和平（上海大学数学系，上海，２００４３６）ｊｌ娶本文讨论了数学物理中一些非线性渡方程（组）的谱逼近求解方法，考虑了各种相应的谱离散格式及其多区域并行算法．关■谰非线性波方程，谱方法，谱粘性方法，多区域并行算法０引言近年来，偏微分方程的谱方法蓬勃发展，并应用于数学物理中许多问题的数值求解，受到关注和欢迎．一方面．谱方法具有所谓“无穷阶”的收敛速度，即若原方程的解是无穷次可徽的，则恰当的半离散谱方法收敛速度比Ⅳ＿１的任何次幂都快（这里Ⅳ是所取基函数的个数）；另

2、一方面，由于在实际计算中一些快速变换（如ＦＦＴ，ＦｌＪ等）的引入大大地减少了计算量，使得谱方法更具有实用性．本文讨论和推广谱方法在数学物理中一些非线性波方程数值求解方面的最新发展．考虑下面的非线性波方程（组）ｐ“（五ｆ）＋ａ，Ｖ妒国（算，啪一确：“（工，ｆ）＋用孙（算，ｆ）＝，（工，ｆ），ｘ∈Ａ，ｏ≤ｆ≤ｒ，（ｏ．１）石ＥＡ．式中：ｒ为正整数；盘，卢≥ｏ；ａ，＝ａ／ａ。；ａ，＝ａ／ａ：；“＝（“ｌ，“２，…，Ⅱ．）７；Ｖ中０）＝（ａ９／ａ“ｌ，ａ妒／ａ“２，…，ａ妒／孤。）７．方程（ｏ．１）包括了

3、ＫｅｎｅｗｅｇｄｅＶｎｃｓ（ＫｄＶ）方程、Ｍｌ【ｄＶ（ＧＫｄＶ）方程、非线性晶格方程、类Ｂｕｒｇｅｒｓ方程、ＫｄＶ－Ｂｕｆｇｃ∞方程以及非线性守恒型方程等，在数学物理中有着广泛的应用．假定Ａ＝（一ｌ，１）’卢＞Ｏ，方程（ｏ．１）即为广义ＫｄＶ－ＢⅡｇｅＢ方程，文献【１】对它的周期问愿建立了Ｆ∞ｆｉｅｒ拟谱方法逼近，时间离散是修改的蛙跳格式：求“。（ｆ）＝∑Ｉ¨瓯ｏ）ｃ…，使得。斫（卅ａ，，Ⅳ帅Ⅳ（。）一ｄａ：ｋｏ）邶ａ：ｒ＋１‰（ｒ）＝如），ｒＥｓ丁，“Ⅳ（ｏ）。ＰⅣ”ｏ，。Ⅳ（ｆ）＝ＰⅣ（。ｏ＋ｚ

4、ａｆ”（０）＋；ｒ２ａ；ｕ（ｏ））．（ｏ－２）式中：ｆ为时间离散步长；品＝取ｆ：ｔ＝ｌ，２…，ｎｒ一１，以一＝而；“：ｃ（ｊ）卜÷ｙⅣ为Ｆｏｕｒｉ口拟谱投影算子（插值算子）．我们同时在本文中约定卟Ｏ）＝韭兰；≠止生，Ｆ（ｆ）＝业型；４盟．进而文献【ｌ】证明了格式的广义稳定性，并利用它得到了式（ｏ．２）的收敛性估计．同时，文献【１】还把此格式推广应用到ａ２＋卢２≠Ｏ的情况．Ｉ“（ｘ，ｏ）＝Ｈｏ（曲，应当看到，Ｆｏｕｒｉｅｒ谱和拟谱方法格式比较简单，计算实施方便，因而其研究工作也相对较为成熟和完善．

5、目前，方程（０．１）的初边值问题和无界区域上的问题收到更多的关注．对于微分方程的边值问题，应采用代数多项式逼近求解．其关键之处在于如何构造出稳定的、高精度的谱离散格式．使之实施方便、快捷．为此，一要恰当选取逼近空间及其基函数，使得全谱离散后的线性方程组系数矩阵稀疏有规律，且条件数较好；二要对非线性项选择合理的谱投影算子．使之在计算上能尽量采用相应的快速变换，减少计算量；三要保证初始值的处理同整个谱逼近格式相容，提高方程求解的精度．本文还特别注重各种方法的可并行性，并力求将所采用的格式推广到高阶的非线

6、性波方程的求解．下文具体给出了类Ｂｕｒｇｅｒ方程、类ｘｄＶ方程和Ｂｕｒｇｅｒｓ方程外部区域问题的谱方法及其离散解法，井讨论非线性守恒型方程的谱粘性方法及其后处理过程．１Ｂｕ曙ｅ玮型方程的ｃｈ哪ｓｈｅｖ．Ｌ％聊Ｉｄｍ谱方法及其多区域并行算法考虑下面的类Ｂｕｒｇｅｒｓ方程的齐次边界问题ＩａｔⅣ（耳，ｆ）＋ａ，妒（Ⅱ（工，ｆ））一国：Ｈ（ｘ，ｆ）＝，（工，ｆ），石∈Ａ，ｏ≤ｔ≤ｒ，｛Ｈ（一ｌ，ｆ）＝“（１，ｒ）＝Ｏ，Ｉ“（Ｊ，Ｏ）＝“ｏ（工），０≤ｆ≤丁，膏∈Ａ．（１．１）若选定逼近空间％＝驴册ｐ

7、∈Ｉ】【Ⅳ：ｖ（一１）＝ｖ（１）＝吣，则方程（１．１）的ｋｇ％ｄ∞．Ｇａｌｅ埘ｎ半谱离散逼近格式为：求“。Ｏ）∈¨，使得ｊ告（“一（ｆ），Ｖ）＋（ａ，Ｒ妒（“Ⅳ（ｆ）），Ｖ）＋ａｐｍ（棚，Ｖ）＝（Ⅳ），Ｖ），ｏ≤ｆ≤丁，Ｉ（ＨⅣ（ｏ）＇ｖ）＋（ａ，“Ⅳ（ｏ），ａ，ｙ）＝（“ｏ，ｖ）＋（ａ：“ｏ，ａ，Ｖ），Ｖｖ∈ｙ－．（１２）基于引言中提出的几点思想，我们取机（而＝ｃ。（ｋ（工）一ｋ＋：（算）），（女＝ｏ＇ｌ，…，Ⅳ一２）为空间¨的基函数伫珈，这里ｋ为≈次ｈｇｅｎｄｒｅ正交多项式，ｑ＝Ｖ（２ｔ＋１）

8、；同时取Ｒ＝，；为区间【一１，ｌ】上的ｃｈｃｂｙｓｈｅｖ－Ｇａｕｓｓ－Ｌ０ｂａｔｔ０型插值算子．若在时间方向采用类似式（０．２）的修改的蛙跳格式，我们可得到方程（１．１）的全谱离散格式．求“。（ｆ）＝∑警。（ｆ）机（工），使得（“圻（伽』）＋（ａ－，：９（“一（眺九）＋口（ａｚ“（帅ｚ妒』）＝（舯），似㈣，＝ｏ＇ｌ，…，Ⅳ一２，ｒ∈Ｓｒ．注意到ｋ满足一项极其重要的递推关系式（放＋１）ｋ（曲＝ａ；ｋ＋ｌ（ｘ）一ａ；ｋ一．（算），ｔ≥１，我们有寻Ｉ理１．１设４业＝Ｏ九，