孤波在一类非线性方程求解中的应用.doc

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1、孤波在一类非线性方程求解中的应用作者：高孝成苏丹来源：《读写算》2014年第30期        【摘要】本文利用孤波的方法，进一步将双曲函数法进行推广，同时引入f和g两个新的函数变换，然后利用Mathematica计算机代数系统对Burgers方程、Fisher方程以及薛定谔方程进行孤波求解，求解出的孤波解同时适用于一系列类似的其他非线性方程。        【关键词】Burgers方程Fisher方程薛定谔方程孤波        在对非线性方程进行研究的过程中，求解出精确的非线性方程解是其中最为重要的内

2、容。一直以来，有很多数学领域的专家学者致力于此研究，他们也找到了很多例如齐次平衡求解法、Jacobi椭圆函数展开法、Sine-cosine方法以及双曲函数法等求解精确的非线性方程解的方法，并利用这些方法进行了很多非线性方程的求解。本文利用孤波的方法，引入函数f和g，求解了一维Burgers方程和Fisher方程以及二维非线性薛定谔方程更精确的孤波解。        一、孤波方法概述        孤波是1834年英国科学家罗素（J.ScottRussell）发现的.但只在1965年扎布斯基（N.J.Zabu

3、sky）和克鲁斯卡（M.D.Kruskal）求KdV方程的数值解时发现孤波相互作用后能保持各自波形速度不变的粒子性并称之为孤子以后，孤子（soliton）和孤波（solitarywave）的概念才广泛应用于物理学的各个领域.从流体力学、等离子体、凝聚态物理、基本粒子理论乃至天体物理，到处都发现有孤子存在的实验事实或物理机制.尤其是因为光孤子不改变其波形、速度，光纤孤子通信具有失真小、保密性好等优点，对它的研究吸引了人们越来越多的注意，并正在成为现代通信技术的热门课题和重要发展方向.数学上，当今已发现一大类非

4、线性演化方程有孤子解，发展了求解这类方程的许多有用的方法，其中包括广为应用的反散射法.同时，数值方法也得到了广泛的应用，孤子理论已成为数学中偏微分方程理论的一个重要组成部分。        二、孤波方法的应用        1965年，美国科学家扎布斯基和克鲁斯卡尔等在电子计算机做数值试验后意外地发现，以不同速度运动的两个孤波在相互碰撞后，仍然保持各自原有的能量、动量的集中形态，其波形和速度具有极大的稳定性，就像弹性粒子的碰撞过程一样，所以完全可以把孤波当作刚性粒子看待。于是他们将这种具有粒子性的孤波，即非

5、线性方程的孤波解称为"孤子"。1965年以后，人们进一步发现，除水波外，其它一些物质中也会出现孤波。在固体物理、等离子体物理、光学实验中，都发现了孤子。并且发现，除Kdv方程外，其它一些非线性方程，如正弦-戈登方程、非线性薛定谔方程等，也有孤子解。1967年，美国的一个研究小组GGKM在解Kdv方程时，首次发明了著名的解析方法--"逆散射变换"，并得出了Kdv方程N个孤波相互作用的精确解。这个方法经拉克斯和AKNS等人推广到一大批非线性演化方程中去，完善为一个较普遍的解析方法，大大推进了孤子的研究。上述这些

6、研究成果，已经开始推向实际应用。例如在光纤通讯中，由于色散变形，传输信息的低强度光脉冲，不仅传输的信息量小，质量差，而且每经一段传输距离后，都要做波形整复。70年代从理论上发现的"光学孤子"，由于在传输中具有波形不损失，不改变速度等特性，为消除前述缺点找到了有效的方法。物理学中的一些基本方程，如规范场论中的自对偶杨-米尔斯方程，引力场理论中的轴对称稳态爱因斯坦方程，以及一系列在流体力学、非线性光学、等离子物体中有重要应用的方程，都已应用孤子理论中的方法得到了许多有趣的精确解。另外，由于孤子同时具有波和粒子两

7、重性质，引起了理论物理学家们的极大关注。他们尝试用它来描述基本粒子。但在应用中，上述的孤子定义有所扩展。但到目前为止，还有很多理论上的困难未能解决。        从目前的情况来看，其实孤子的应用还是比较少的，可以说，在这方面的研究，还有非常大的潜力。而现在，像地震，海啸，飓风，台风这样的自然灾害还在困扰着人类。那么这些人类无能为力的灾害是否和孤子存在一定的关系呢？也许是存在的，只是我们目前还没有发现而已，在将来，随着我们对孤子的进一步透彻研究，也许这些灾害会得到解决。还有就是孤子在通信，运输方面的应用也会

8、更加普遍。这一切都是我们所期待的，也是我们的努力方向，孤子应用的巨大潜力，等待着我们去开发。        结论        在其他非线性方程研究的基础上引用一种新的孤立波函数，再根据举例推导，求解了相应一维和二维公式的精确孤波解，并按文中方法较简便地推导求出了一类非线性方程的精确孤波解，这些解中也包含有一部分新的孤波解。本文利用孤波方法求解较为新颖，也有一定的适用性，能够用来对很多其他类似的方程如KP方程和K