非线性矩阵方程X＋A~＊ X~（-q） A=Q的Hermite正定解.pdf

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1、第31卷哈尔滨师范大学自然科学学报Vo1．31，No．22015第2期NATURALSCIENCESJOURNALOFHARBINNORMALUNIVERSITY非线性矩阵方程X+术XA=Q的Hermite正定解霍金丹，梁丽，于娇(东北林业大学)【摘要】非线性矩阵方程X+A一A=Q，这里A是n阶非奇异复数阵，Q为q≥1阶Hermite正定距阵．在g≥1时上面矩阵方程有正定解，或者是此正定解唯一，并给出它们的充分以及必要条件，接着又给出了求上面方程正定解的迭代法．【关键词】奇异值；酉不变范数；不动点；特征值；谱范数中图分类号：0241．6文献标识码：A文章编号：1000—5617

2、(2015)02—0024—03≥A>0．0引言则在这里要给出方程4≤()Bt，A≤()+AA=Q(1)fL1m2正定解存在的充分和必要条件，其中A是n阶非引理1．373令I厂为在(0，∞)上的单调函奇异复矩阵，Q是凡阶Hermite正定阵，且q≥1，数的算子，且令A、为两个与0有关系下界的正为未知矩阵，这样的非线性矩阵方程在梯形网定算子，即A>aI和B>aI，其中。为正数，如果络，随机过滤，动态规划和统计中应用广泛]，存在f。)，则对于每一个酉不变范数ll·ll，有同时通过众多的学者的研究学习也取得了一定lI(A)一()l

3、根据Banach的不2主要定理及证明动点定理和Brouwer不动点定理来解决，接着根定理2．1如果方程(1)有一个正定解，据方程(1)正定解存在的充分和必要条件求出则方程的解，最后又给出了求解方程(1)正定解的Q一(AQA)>另一种方法，即迭代法，与此同时又给出了推导[A(Q)[A(Q)]卜AQ～A，迭代法收敛的一个充分条件．且X∈(S，T)，这里1引用定理S=√AQI1A+AQ-1[(AQ_1A)一寺一Q-1]Q-1A，弓I理1．1ES]令B∈C，U∈C，V∈=Q一[Ai(Q一]一。[JI(Q一)]一AQ一A．证明由于X是方程(1)的一个正定解．则C奴且，B—是非奇异的，则有

4、XX>AQA，同时也有Q引理1．2_6令A和是Hilbert空问上0和收稿日期：2014—09—28第2期非线性矩阵方程X+AX—qA=Q的Hermite正定解25②，Y,．Ca方程(1)可变形为定理2．2如果当X∈[Q一~／AQ-A，Q—X=AX～A．Q一(时，则对①式变形可得叫<()一(一g，—：≥一A≥(：，)一A(一A，则有则方程(1)有正定解，且如果h=ql

5、lllA((Q一A*X-qA>(㈣即(妻吕)AQ))A：(Q一)Q—X=AX一A>[Ai(Q)]q-1×<1，[A(Q)]卜AQ～A，则方程(1)有唯一的正定解．证明考虑映射G(X)=Q—AX～A，且令则Q>[1~rain(Q)q-,[A(Q)]AQ1A+X，X∈={X：Q—≤X≤Q一又由于X>而，(，则有显然，是一个凸闭集且有界，并且G()是上Q>[A(Q)][A(Q)]卜AQ一A+的连续函数．当X∈时，有(AQ一A)i1，即}≥A一A≥()一(一A，Q一(AQA)寺>[A(Q)][A。(Q)]1AQ-qA．则又有再通过②式变形可得(主詈)Q<，Q—c妻兰QA≥Gc=则有Q—

6、AX一A≥Q一，即妄三；AQA

7、((一(；：：)一(一以)一)，≤由上述的③和④，则有X∈(S，T)．注2．1根据定理2．1可知(Q一(枷≤(：：—：—i一Q一]一Q一A，Q一((一)一-≤；A(((一／j而)一)，，[rain(Q)[A(q)]卜AQA)C(，Q)．i((Q——()一A(一q4)一)，≤26哈尔滨师范大学自然科学学报2015年第31卷(Q一(㈣≤≤(Q一则L3洧而)一≤Am．x((Q一))，，c球口(『1lX；1-X(1II(『1lXT'(&-X2IIII≤<一vIgggg(老～liar'x,-xd，．．