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1、Hermite-正定矩阵生成序列的敛散性第21卷第5期2003年10月河南HENAN科学SCIENCEVo1.21No.5Oct.2o03文章编号:1004—3918(2003)05—0509—03Hermite.正定矩阵生成序列的敛散性侯海军,王庆东,赵玲2(1.商丘师范学院数学系,河南商丘476000;2.商丘市第一高中,河南商丘476000)摘要:给出了Hermite--ff-定矩阵生成序列的性质和敛散性的等价命题.关键词:Hermite--if-定矩阵序列;C(A)Pc列;L(A)Pc列;矩阵范数;矩阵本征值中图分类号:0153文献标识码:AHermite一正定矩阵
2、是一类重要的特殊矩阵,在矩阵分析和其它数学分支中占有重要地位.本文对Hermite一正定矩阵的两种生成序列进行探讨,得出了生成序列的性质和收敛定理.为此首先给出本文引用的记号,定义和引理.引用下列记号:阶Hermite一正定矩阵A正定记A>0,半正定记A≥0;负定记A<0,半负定记A≤0.用1(A),2(A),……,(A)表示阶矩阵A按模从大到小排列的本征值.引用下列定义:设{M}={(:')}是×复矩阵序列,如果存在一组常数对一切正整数k,有11≤1,称{Mk}是有界矩阵序列,×复矩阵M=(,)叫{Mk}的界.同样地,可以定义{Mk}的上(下)界.设{Mk}是
3、无穷阶复矩阵序列,若对任意的k,有Mk+l—Mk≥0,则称{Mk}是单调增加的复矩阵序列,同样地,可以定义单调减少,严格单调增加(减少)的复矩阵序列.设A是阶复矩阵,令C0(A)=A,Cl(A)=AC0(A)+E,C2(A)=ACl(A)+C0(A),……,Ck(A)=A—l(A)+Ck一2(A),……,称{(A)}是A的生成C(A)序列;令L0(A)=E,Ll(A)=A,L2(A)=ALl(A)+L0(A),……,L^(A)=AL^一l(A)+Lk-2(A),称{(A)}为A的生成L(A)序列..设矩阵A是阶可逆矩阵,令A0=A,Al=A+A_.,……,A^=A+(A+(
4、A+…+(A+A-1)-1…)-1)'.,……,称{A}是A生成的逆和序列(简称A的生成序列).引用下列引理:引理1Hermite一正定矩阵序列单调增加(减少),则其逆矩阵序列单调减少(增加).证明设{Mk}是Hermite一正定矩阵序列,则{Mk-1}也是Hermite一正定矩阵序列,而Mk_.一Mk+1一=Mk一(Mk+l—Mk)Mk+l_.,利用Mk一≥0,Mk+l—Mk≥0,Mk+l一≥0知,Mk'.一Mk+l一≥0,即{Mk}单调减少.引理2单调有界矩阵序列收敛.证明设{Mk}单调增加有上界M,则{Mk—Ml}是单调增加有上界M—Ml的Hermite一正定矩阵序列
5、.利用e(M一M1)e≥0及(e+e)H(一M1)(e+e)≥0知,{一Ml}任一元素实数列1)一ml是单调增加有上界的实数列,所以{一M1{是收敛的,即{M收敛.1Hermite-正定矩阵序列的收敛定理利用矩阵范数理论及矩阵收敛定理,仿照[1]的证明方法,容易证明定理1.1,1.2,本文从略.定理1.1设{Mk}是Hermite一正定矩阵序列,则下列四个结论等价:(1)Mk一0(k—OO)(2)llMkll一0(k—OO)(3)1l(k)1—0(k—OO)(4)1Tr(Mk)1—0(k—O0)定理1.2设{Mk}是Hermite一正定矩阵序列,则下列四个结论等价:收稿日期
6、:2003—06—02作者简介:侯海军(1966一),男,河南商丘人,商丘师范学院副教授.?--——510?--——河南科学第2l卷第5期(1)∑Mk收敛k=l(3)∑Il()I收敛(2)∑llll收敛k=l(4)∑ITr(Mk)I收敛2ltennmte-正定矩阵生成序列性质定理2.1设A是Hermite一正定矩阵(以下各性质,定理同),则C(A),L(A)具有如下性质:(1)L^(A)可逆(2)I1(A)ck(A)=A^证明k=0,1结论显然成立.假设结论对k成立,即L(A)可逆且L^一(A)(A)=A^=A+(A+(A+…+(A+A一)-1.??)一)一则A^+1=A+
7、(A+(A+(A+…+(A+A一)一…)一)一)一=[(A+A一)一1(A+A一)+一2(A+A一)]一[(A+A一)一1(A+A一)+一2(A+A一)]=L^(A+A)ck(A+A一)=+l一(A)Ck+l(A)性质2.2A^H=A^(即A^是Hermite一矩阵)证明因A^=A+(A+(A+…+(A+AI1)…)I1)_.,而A是Hermite一正定矩阵,利用其逆与和仍是Hermite一正定矩阵知:A^是Hermite一矩阵.性质2.3L^(A)(A)=ck(A)LkH(A)证明因为[I1(A)(A)]H=A^
